K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
6 tháng 3 2018
Ta có : \(a+b>1>0\) (1)
Bình phương hai vế: \(\left(a+b\right)^2>1\Rightarrow a^2+2ab+b^2>1\left(2\right)\)
Mặt khác : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(3\right)\)
Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\dfrac{1}{2}\left(4\right)\)
Bình phương hai vế của (4) : \(a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\left(5\right)\)
Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Rightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(6\right)\)
cộng từng vế của (5) và (6) : \(2\left(a^4+b^4\right)>\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\)(đpcm)
1 tháng 4 2017
xét hiệu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
vì (a-b)2>=0
mà a,b>0 nên ab>0;a+b>0
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{ab}\ge0\)
hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{ab}\left(dpcm\right)\)
KK
27 tháng 2 2017
Theo bất đẳng thức tam giác
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{2}{b}\\\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}\ge\dfrac{2}{c}\\\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{a+c-b}\ge\dfrac{2}{a}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo từng vế
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ( đpcm )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 8 2020
Đề sai: ví dụ với \(a=2;b=1\)
Vế trái bằng 255 trong khi vế phải bằng 7
30 tháng 3 2017
Từ BĐT trên ,ta có:
\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a+b}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(a+b) \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) (a+b)2 \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2 +2ab+b2\(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab+b2-4ab \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) a2-2ab+b2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a-b)2 \(\geq\) 0 (luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Từ đó ta chứng minh được BĐT : \(\dfrac{1}{a}\) +\(\dfrac{1}{b}\)\(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
KT
31 tháng 3 2017
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\) (1)
\(\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) (2)
ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge\left(a-b\right)^2\) và \(\left(a-b\right)^2\ge4ab\)
nên \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (3)
từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) hay \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)(đpcm)
VL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2020
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}>4\)
Câu b chắc là \(a+2b+c\ge4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
BĐT tương đương:
\(a+2b+c\ge4\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có:
\(VP=4\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\left(a+2b+c\right)^2\left(c+a\right)\)
\(VP\le\left(a+2b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{4}\left(a+2b+c\right)\left(a+2b+c+c+a\right)^2\)
\(\Rightarrow VP\le\frac{1}{4}\left(a+2b+c\right)\left(2a+2b+2c\right)^2=a+2b+c\) (đpcm)
Dấu "=" không xảy ra
3 tháng 4 2022
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
Vì bất đẳng thức không xảy ra dấu "=" nên ta chỉ xét đến trường hợp dấu ">" và cần thêm điều kiện a,b là các số dương.
Ta có : \(\left(a-b\right)^2>0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2>0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2>4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2>4ab\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}>\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4}{a+b}\)