K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
21 tháng 11 2017
Ta dễ dàng chứng minh được: \(n^2+\left(n+1\right)^2>2n\left(n+1\right)\)
Thật vậy:
\(n^2+\left(n+1\right)^2=n^2+n^2+2n+1=2n^2+2n+1>2n^2+2n=2n\left(n+1\right)\)Trở lại bài toán
\(A=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+...+\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}\)
\(A=\dfrac{1}{1^2+2^2}+\dfrac{1}{2^2+3^2}+\dfrac{1}{3^2+4^2}+....+\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}\)
\(A< \dfrac{1}{2.1.\left(1+1\right)}+\dfrac{1}{2.2.\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{2.3.\left(3+1\right)}+....+\dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\)
\(A< \dfrac{1}{2.1.2}+\dfrac{1}{2.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\)
\(A< \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(A< \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(A< \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(A< \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n+2}< \dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
T
21 tháng 4 2019
Sửa đề là với n >= 2 nhé!Mình cũng không chắc nx!Mình ngu dạng này lắm=(((
Với n = 2 thì \(VT=\frac{1}{5}+\frac{2}{13}+\frac{1}{25}< \frac{9}{20}\) (đúng)
Mệnh đề đúng với n = 2
Giả sử đúng với n = k (k>= 2)tức là \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{k^2+\left(k+1\right)^2}< \frac{9}{20}\) (giả thiết qui nạp)
Ta chứng minh nó đúng với n = k + 1 tức là c/m \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{\left(k+1\right)^2+\left(k+2\right)^2}< \frac{9}{20}\)
Ta có: VT = \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{\left(k+1\right)^2+\left(k+2\right)^2}< \frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{k^2+\left(k+1\right)^2}< \frac{9}{20}\)
NN
1
21 tháng 7 2016
\(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2.n^2+2n+1}< \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+...+\frac{1}{2.n^2+2n}\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\)
TP
1
5 tháng 7 2018
Ta có: \(n^2+\left(n+1\right)^2>2n\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+...+\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{2^2+3^2}+...+\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \frac{1}{2.1.2}+\frac{1}{2.2.3}+...+\frac{1}{2.n.\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{2}\)
ND
0
18 tháng 7 2016
\(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2.n^2+2n+1}< \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+...+\frac{1}{2.n^2+2n}\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{2}\)
=> \(A< \frac{1}{2}\)
BN
26 tháng 2 2018
Chứng minh 1 bất đẳng thức cơ bản sau:\(\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\)
Thật vậy: \(\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}=\dfrac{1}{n^2+n^2+2n+1}=\dfrac{1}{2n^2+2n+1}< \dfrac{1}{2n^2+2n}=\dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\)
Thay vào bài toán \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+...+\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}=\dfrac{1}{1^2+\left(1+1\right)^2}+\dfrac{1}{2^2+\left(2+1\right)^2}+\dfrac{1}{3^2+\left(3+1\right)^2}+...+\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}\)
\(< \dfrac{1}{2.1.2}+\dfrac{1}{2.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\left(n+1\right)}< \dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
bạn bt rùi sao còn kêu tụi mình cm chi nữa
mk đã bk dou bn