Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(n^2-3n+25=n^2+2n-5n-10+35\)
\(=n\left(n+2\right)-5\left(n+2\right)+35=\left(n+2\right)\left(n-5\right)+35\)
Vì \(\left(n+2\right)-\left(n-5\right)=7⋮7\)
=> \(n+2\) và \(n-5\) có cùng số dư khi chia 7
+ TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}n+2⋮7\\n-5⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n-5\right)⋮49\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n-5\right)+35⋮̸̸49\)
hay \(n^2-3n+25⋮̸49\)
+ TH2 : \(\left\{{}\begin{matrix}n+2⋮̸7\\n-5⋮̸7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n-5\right)⋮̸7\)
\(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n-5\right)+35⋮̸7\) \(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n-5\right)+35⋮̸49\)
Vậy trong mọi TH ta đề có \(n^2-3n+25⋮̸49\) \(\forall n\in Z\)
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử $n^2-3n+25$ chia hết cho $49$
$\Rightarrow n^2-3n+25\vdots 7$
$\Rightarrow n^2-3n+7n+25-21\vdots 7$
$\Rightarrow n^2+4n+4\vdots 7$
$\Rightarrow (n+2)^2\vdots 7\Rightarrow n+2\vdots 7$
Đặt $n+2=7k$ với $k$ nguyên.
$\Rightarrow n^2-3n+25=49k^2-49k+35$ không chia hết cho $49$ (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai. Tức là $n^2-3n+25$ không chia hết cho $49$
Bài 2:
\(n^3-n^2+2n+7⋮n^2+1\)
\(\Leftrightarrow n^3+n-n^2-1+n+8⋮n^2+1\)
\(\Leftrightarrow n^2-64⋮n^2+1\)
\(\Leftrightarrow n^2+1\in\left\{1;65\right\}\)
\(\Leftrightarrow n\in\left\{0;8;-8\right\}\)