Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét các số:
2,22 , 222,..., 2222...222
14 chữ số 2
1 số tự nhiên khi chia cho 13 sẽ có thể có các số dư là 0,1, 2, 3,..., 12 ( 13 số dư ) mà dãy trên có 14 số nên theo nguyên lí Diricle sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 13
Giả sử 2 số đó là
222...22 và 222...22
m chữ số 2 n chữ số 2 ( m, n thuộc N*, 0<m<n \(\le\)20 )
=> 222...22 \(_-\)222...22 \(⋮\)13
n chữ số 2 m chữ số 2
<=> 222...222 000....00 \(⋮\) 13
n-m chữ số 2 m chữ số 0
<=> 222..222 x 10m \(⋮\)13
n-m chữ số 2
Mà ( 10m, 13 ) = 1
=> 222....2222 \(⋮\)13
n-m chữ số 2
Vậy tồn tại 1 số tự nhiên gồm toàn chữ số 2 là bội của 13.
Hok tốt
Chọn bộ 14 số sau:
2, 22, 222, ..., 222..2222 (14 chữ số 2)
Đem chia 14 số trên cho 13.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 222..22 (m chữ số 2) và 222..22 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 14.
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 13 nên
[222..22 (m chữ số 2) - 222..22 (n chữ số 2)] chia hết cho 13
=> 222..2200...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 13
hay 222..22(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 13
=> 222..22 (m-n chữ số 2) chia hết cho 13
=> đpcm.
Chọn bộ 14 số sau:
2, 22, 222, ..., 222..2222 (14 chữ số 2)
Đem chia 14 số trên cho 13.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 222..22 (m chữ số 2) và 222..22 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 14.
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 13 nên
[222..22 (m chữ số 2) - 222..22 (n chữ số 2)] chia hết cho 13
=> 222..2200...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 13
hay 222..22(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 13
=> 222..22 (m-n chữ số 2) chia hết cho 13
=> đpcm.
Gọi số n là số lẻ có tận cùng khác 5.
Xét dãy số gồm (n+1) số nguyên sau :
9
99
999
......
99....999
(n+1) chữ số 9
Khi chia cho n thì sẽ có (n+1) số dư
=>Theo ng.lý dinchlet có ít nhất 2 số có cùng số dư .
Gỉa sử : ai = n . q + r o < r < n
:aj = n . k + r i > j ; g , k thuộc N
=>ai - aj = n (g-k)
<=> 99 ... 99 00...0 = ( g-k )
( i - j ) j chữ
chữ số 9 số 0
<=>99 ... 99 . 10j = n ( g - k )
( i - j )
c/số 9
Vì n là số lẻ có tận cùng khác 5 => ( 10j ; n ) = 1
=> 99 ... 99 :. n ( đpcm )
( i - j )
c/số 9
Bạn gọi như sau:
a1=7
a2=77
a3=777
......
a32=77777.....7777(gồm 32 số 7)
Đem chia cho 31 ta có 32 số số dư
R1;R2:R3;R4;....:R32 nhưng chỉ nhận 31 giá trị(0;1;2;3;4;5;6;.....;30) nên sẽ có 2 số dư trùng nhau
chẳng hạn Rm=Rn (Với m>n) thì am-an chia hết cho 31 (vì đồng dư),ta lại có
777..7(gồm m chữ số 7)-77...7(gồm n chữ số 7)=777...7(gồm m-n số 7)00....0(gồm n số 0)=777...7 nhân 10^n chia hết cho 31
vi 10^n và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau nên suy ra 777..7 chia hết cho 31 .
Vì bài này chỉ chứng minh chứ ko phải tìm số nhé :D
Xét dãy số:2,22,222,...,22...22(131 chữ số 2) có 131 số.
Nếu có số chia hết cho 131 thì bài toán được chứng minh.
Nếu ko có số nào chia hết cho 131 thì có 131 phép chia có số dư thuộc{1;2;3;...;130}.Có nhiều nhất 130 số dư khác nhau.
Suy ra tồn tại 2 phép chia có số dư bằng nhau khi chia cho 131. Khi đó có hiệu của chúng chia hết cho 131.
Ta giả sử 2 số đó là :
222...2(m chữ số 2) và 222...2( n chữ số 2). (m>n; m,n thuộc{1;2;3;..;131}.
Và 22...2(m chữ số 2)- 22..2( n chữ số 2) chia hết cho 131.
Suy ra 22...20000...0( m - n chữ số 2 và n chữ số 0) chia hết cho 131.
Suy ra 222..2(m - n chữ số 2)× 10^n Chia hết cho 131.
Mà 10^ n và 131 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Suy ra 222...2( m -n chữ số 2) chia hết cho 131.
Vậy luôn tồn tại 1 bội của 131 gồm toàn chữ số 2.
Xét 31 số
7
77
777
...
7777....7777
31 chữ số 7
Nếu có 1 trong 31 số chia hết cho 31 thì bài toán được chứng minh
Nếu ko có số nào chia hết cho 31 thì ta có:Mọi số tự nhiên ko chia hết cho 31 thì có 30 trường hợp dư là 1;2;3;4;...;30 có 30 trường hợp
Mà số 31 số nên theo nguyên lý Đi rích-lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 31
Gọi 2 số đó là:77777.....77777 77777............77777 \(\left(1\le n< m\le31\right)\)
n chữ số m chữ số
\(\Rightarrow777...7777-7777....777⋮31\)
m chữ số n chữ số
\(\Rightarrow777.....777.10^n⋮31\)
m-n chữ số
Mà (10^n,31)=1
\(\Rightarrow7777.....77777⋮31\)
m-n chứ số
Ró ràng m-n>0 vì m>n
Suy ra điều phải chứng minh