Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tích Hai số tự nhiên liên tiếp chia hêt cho 2
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
(2;3) =1
2*3=6
Nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Giả sử bốn số tự nhiên liên tiếp là: \(a-1;a;a+1;a+2\)\(\left(a\inℕ^∗\right)\)
Tích của bốn số đó cộng thêm 1 là: \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1\)\(=\left(a-1\right)\left(a+2\right)a\left(a+1\right)+1\)\(=\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a\right)+1\)
Đặt \(a^2+a=x\)\(\Rightarrow\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a\right)+1=x\left(x-2\right)+1=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)là số chính phương
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là : \(a,a+1,a+2,a+3\left(a\inℕ^∗\right)\)
Ta có :
\(a.\left(a+1\right).\left(a+2\right).\left(a+3\right)+1\)
\(=\left[a.\left(a+3\right)\right].\left[\left(a+1\right)\left(a+2\right)\right]+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)^2+2.\left(a^2+3a\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a+1\right)^2\) là một số chính phương
\(\Rightarrowđpcm\)
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
Gọi 4 số đó là n; n+1; n+2; n+3
Theo đề bài có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
Nhóm n với n + 3 , n + 1 với n + 2, được
(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1
Đặt n^2 + 3n + 1 = y => n^2 + 3n = y - 1 ; n^2 + 3n + 2 = y + 1
Có (y - 1)(y + 1) + 1
= y^2 - 1 + 1 = y^2 là số chính phương => điều phải chứng minh
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3 (a thuộc N)
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n(n + 3)(n + 1)(n + 2) =
(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
Dat A=n^2 +3n thi
A(A+2)+1=a^2+2A + 1=(T +1)^2
Vay tich 4 so tu nhien lien tiep cong 1 la so chinh phuong
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3 (a thuộc N)
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n(n + 3)(n + 1)(n + 2) = \(\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
Đặt A = \(n^2+3n\)\(\)thì
A(A + 2) + 1= \(A^2+2A+1\)=\(\left(t+1\right)^2\)
Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chín h phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3, a+4
=> a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) luôn chia hết cho 5
nó cũng chia hết cho sáu vì a(a+1) chia hết cho 2 (1)
a(a+1)(a+2)chia hết cho 3 (2)
Từ 1 và 2 => tích đó chia hết cho sáu vì (2,3)=1 (**)
từ * và ** => tích đó chia hết cho 30 vì (5,6)=1
2 số liên tiếp chia hết cho 2
3 số liên tiếp chia hết cho 3
5 số liên tiếp chia hết cho 5
nên 5 số liên tiếp có số chia hết cho 2.3.5=30
