K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 8 2022

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

9 tháng 8 2022

Đầu tiên ta sẽ chứng minh BDT phụ \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

Thật vậy, ta có BDT luôn đúng: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\) \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Vậy BDT phụ được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT, ta được \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2\) (vì \(x^2+y^2=1\))

Từ đó \(-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\), kết hợp với giả thiết \(x^2+y^2=1\) thì ta có \(x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

15 tháng 1 2018

C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:

\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)

\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)

"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

2 tháng 3 2018

༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻Tâm đường tròn ở đâu

4 tháng 3 2018

R là số thực nhỉ???

26 tháng 12 2017

Ta có (x-y)^2>=0

suy ra x^2+y^2>=2xy

Suy ra 2(x^2+y^2)>=(x+y)^2

Suy ra 2>=(x+y)^2

suy ra ĐPCM

26 tháng 12 2017

suy ra thứ 4 hình như sai pải hk bạn

12 tháng 5 2016

\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)

\(A=\sqrt{x^2+\left(2-x\right)^2}+\sqrt{x\left(2-x\right)}=\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{-x^2+2x}\)

\(A^2=x^2-2x+4+2\sqrt{2x^2-4x+4}.\sqrt{-x^2+2x}\)

\(+A\ge2\Leftrightarrow A^2\ge4\Leftrightarrow x^2-2x+4+2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge x\left(2-x\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(-2x^4+8x^3-12x^2+8x\right)\ge x^2\left(2-x\right)^2\text{ }\left(do\text{ }x\left(2-x\right)\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(2-x\right)\left(9x^2-18x+16\right)\ge0\)

Bất đẳng thức trên đúng vì :

\(x\ge0;\text{ }2-x=y\ge0;\text{ }9x^2-18x+16=9\left(x-1\right)^2+7>0\)

Vậy \(A\ge2\)

Tương tự, ta có thể chứng minh \(A\le\sqrt{6}\)

12 tháng 5 2016

Cách khác: \(x+y=2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

Đặt \(t=\sqrt{xy};t\ge0;\text{ }t\le\frac{x+y}{2}=1\)

\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t^2}+t\)

\(+\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\Leftrightarrow\sqrt{4-2t^2}\ge2-t\)

\(\Leftrightarrow4-2t^2\ge t^2-4t+4\text{ }\left(do\text{ }2-t>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3t^2-4t\le0\Leftrightarrow t\left(3t-4\right)\le0\)

BĐT trên đúng đo \(t\ge0;\text{ }3t-4\le3.1-4=-1<0\)

Vậy \(\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\)

Làm tương tự với vế còn lại.

14 tháng 9 2018

Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)  

Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\) 

                 \(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\) 

\(\Rightarrow VT=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

27 tháng 12 2019

We have:

\(x^{^3}+y^3=\left(x^3+\frac{1}{2}x\right)+\left(y^3+\frac{1}{2}y\right)-\frac{1}{2}\left(x+y\right)\ge\sqrt{2}\left(x^2+y^2\right)-\frac{1}{2}\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Tu gia thuyet we have:

\(0\le x,y\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-1\right)\le0\\y\left(y-1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\)

Dau '=' xay ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)=\left(0;1\right)\)

13 tháng 6 2017

Bài này dễ mà ==". Áp dụng BĐT C-S ta có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\cdot\left(x^2+y^2\right)=2\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

10 tháng 11 2018

( x + y )2 \(\le\) ( 12 + 12 ) ( x2 + y2)

=> ( x + y )2 \(\le\) 2 . ( x2 + y2) = 2

=> -\(\sqrt{2}\) \(\le\) x + y \(\le\) \(\sqrt{2}\)