Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi 3 số đó là a;b;c. Do vai trò của a;b;c là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
Từ giả thiết ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}abc=1\\a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) a;b;c không thể đồng thời bằng 1 (vi phạm giả thiết thứ 2)
Nếu a;b;c đều nhỏ hơn 1 \(\Rightarrow abc< 1\) (trái giả thiết)
Nếu a;b;c đều lớn hơn 1 \(\Rightarrow abc>1\) (trái giả thiết)
\(\Rightarrow\) Chỉ có 1 hoặc 2 số trong 3 số lớn hơn 1
Giả sử có 2 số lớn hơn 1 \(\Rightarrow a;b>1\)
Từ giả thiết thứ 2: \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{ab}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab\)
\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{ab}>\frac{a+b}{ab}+ab\)
\(\Leftrightarrow a+b-\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{ab}-ab>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{ab-1}{ab}\right)-\frac{\left(ab-1\right)\left(ab+1\right)}{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{ab+1}{ab}\right)>0\)
\(\Leftrightarrow a+b-ab-1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)>0\) (vô lý do \(\left\{{}\begin{matrix}a>1\\b>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)< 0\))
Vậy điều giả sử là sai
Hay trong 3 số có đúng 1 số lớn hơn 1
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dưới dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
<=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (vì a+b+c=1) (đpcm)
Cách khác dùng AM-GM
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tiếp tục áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)(đpcm)
