K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 9 2018

Áp dụng BĐT cô-si, ta được:

\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\\\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\end{cases}}\)

=>  \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

=> \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)

Vậy....

26 tháng 11 2020

Biến đổi tương đương ta được :

\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\sqrt{a}^3+\sqrt{b}^3}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le a-\sqrt{ab}+b\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)( đúng với đk )

17 tháng 7 2020

Bài làm:

Ta có: \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\right)^2\ge\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\frac{a+b}{4}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{4}\ge\frac{\sqrt{ab}}{2}\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng (áp dụng Cauchy ngược)

=> đpcm

17 tháng 7 2020

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)

Cộng 2 vế của (1) với a+b được

\(2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)(2)

Chia 2 vế của (2) cho 4 được: \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\left(đpcm\right)\)

NV
22 tháng 6 2019

a/

\(=\frac{a+b}{b^2}.\frac{\left|a\right|.b^2}{\left|a+b\right|}=\frac{\left(a+b\right).b^2.\left|a\right|}{b^2\left(a+b\right)}=\left|a\right|\)

b/

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

28 tháng 9 2017

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=z\\\sqrt{b^2+c^2}=x\\\sqrt{c^2+a^2}=y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b=\frac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{cases}}\)\(\forall\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=\sqrt{2017}\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=2x\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(2\sqrt{2}\cdot VT\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{y^2+x^2-z^2}{z}+\frac{x^2+z^2-y^2}{y}\)

\(=\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\)

\(\ge\frac{\left(2\left(x+y+z\right)\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}-\sqrt{2017}=\sqrt{2017}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2}\cdot VT\ge\sqrt{2017}\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{2017}}{2\sqrt{2}}=VP\)

6 tháng 6 2017

dễ mk giải nhé

thank bạn ráng giúp nha!

28 tháng 2 2017

2a)với a,b,c là các số thực ta có 

\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)

tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)

tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)

cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

22 tháng 12 2016

đúng với mọi a,b chứ nhỉ

nếu a, b <0 VT>=0 VP<0 => đúng

Bp

\(\Leftrightarrow2.\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) hiển nhiên đúng=> dpcm