Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=2013$
$\Rightarrow (a+b)^3=3ab(a+b)+2013\vdots 3$
$\Rightarrow a+b\vdots 3$
$\Rightarrow (a+b)^3\vdots 27$ và $3ab(a+b)\vdots 9$
Do đó:
$2013=(a+b)^3-3ab(a+b)\vdots 9$
Điều này vô lý do $2013\not\vdots 9$
Vậy không tồn tại $a,b$ nguyên thỏa mãn đề.
Bài làm
\(a^3+b^3-2808^{2017}=2c^3-16d^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+16d^3-2c^3=2808^{2017}⋮3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+d^3+c^3+15d^3-3c^3⋮3\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+3\left(5d^3-c^3\right)⋮3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3⋮3\)
Xét:\(k^3-k\left(k\in Z\right)=k\left(k^2-1\right)=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)
Mà: \(k-1;k;k+1\)là 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow k^3-k⋮3\Rightarrow\left(a^3-a+b^3-b+c^3-c+d^3-d⋮3\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c+d⋮3\left(vì:a^3+b^3+c^3+d^3⋮3\right)\)
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
\(a^3+11a=a\left(a^2+11\right)\)
Nếu \(a=3k+1\Rightarrow a^2+11=9k^2+6k+12⋮3\)
Nếu \(a=3k+2\Rightarrow a^2+11=9k^2+12k+15⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a^3+11a\right)⋮3\) \(\forall a\in Z\) (1)
Mặt khác ta có:
\(2017\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2017^{2017}\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(2017^{2017}+1\right)\equiv2\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(2017^{2017}+1\right)⋮̸3\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\left(2017^{2017}+1\right)⋮̸\left(a^3+11a\right)\) \(\forall a\in Z\)