Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tiện tay chém trước vài bài dễ.
Bài 1:
\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)
Bài 2:
1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn
2)
c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1
Bài 1:
Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.
Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!
(cần thì ib t gửi link cho)
(a+b+c)3= (a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c2
=a3+3a2b+3ab2+b2+3(a+b)c(a+b+c)+c2
=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3(a+b)c(a+b+c)
=a3+b3+c3+3(a+b)[ab+c(a+b+c)]
=a3+b3+c3+3(a+b)(ab+ac+bc+c2)
=a3+b3+c3+3(a+b)[(ab+ac)+(bc+c2)]
=a3+b3+c3+3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]
=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)
Vậy (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)
Với điều kiện \(ab+bc+ca+abc=4\) thì \(VP-VT=\frac{bc^2\left(a-b\right)^2+ca^2\left(b-c\right)^2+ab^2\left(c-a\right)^2}{\left(a^2+2b\right)\left(b^2+2c\right)\left(c^2+2a\right)}\ge0\)
a) Ta có: \(a^2-1\le0;b^2-1\le0;c^2-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\le0\)
\(a^2+b^2+c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) ( vì \(abc\ge0\) )
Có \(b-1\le0\Rightarrow a^2b\sqrt{b}\left(b-1\right)\le0\Rightarrow a^2b^2\le a^2b\sqrt{b}\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}b^2c^2\le b^2c\sqrt{c}\\c^2a^2\le c^2a\sqrt{a}\end{cases}\Rightarrow dpcm}\)
\(1,VT=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Ta có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)
\(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(VT\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Bây giờ ta cm:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Bất đẳng thức trên luôn đúng
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Bài 22:
\(a^6+b^6\\ =\left(a^2\right)^3+\left(b^2\right)^3\\ =\left(a^2+b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2-a^2b^2+\left(b^2\right)^2\right]\\ =\left(a^2+b^2\right)\left[\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)-3a^2b^2\right]\\ =\left(a^2+b^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)^2-3a^2b^2\right]\)
Bài 24:
a) Ta có:
`(a+b)^2=2(a^2+b^2)`
`<=>a^2+2ab+b^2=2a^2+2b^2`
`<=>a^2-2ab+b^2=0`
`<=>(a-b)^2=0`
`<=>a-b=0`
`<=>a=b`
b) Ta có:
`a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ca+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0`
`<=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0`
`<=>a-b=0` và `a-c=0` và `b-c=0`
`<=>a=b=c`
c) Ta có:
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+bc)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0`
`<=>a=b=c`