LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
31 tháng 7 2023
2:
a: Sửa đề: \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)
\(A=\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\)
=>\(A>=2\cdot\sqrt{\sqrt{a^2+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)
A=2 thì a^2+2=1
=>a^2=-1(loại)
=>A>2 với mọi a
b: \(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}< =\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)
=>\(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>=0\)
=>(căn a+căn b)(a-2*căn ab+b)>=0
=>(căn a+căn b)(căn a-căn b)^2>=0(luôn đúng)
GH
31 tháng 7 2023
1
ĐK: `x>1`
PT trở thành:
\(\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-3}{x-1}=2^2=4\\ \Leftrightarrow4x-4-2x+3=0\\ \Leftrightarrow2x-1=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(KTM\right)\)
Vậy PT vô nghiệm.
b
ĐK: \(x\ge2\)
Đặt \(t=\sqrt{x-2}\) (\(t\ge0\))
=> \(x=t^2+2\)
PT trở thành: \(t^2+2-5t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\)
nhẩm nghiệm: `a+b+c=0` (`1+(-5)+4=0`)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=1\left(nhận\right)\\t=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{x-2}=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\left(TM\right)\\x=18\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
TL
0
16 tháng 12 2016
đặt \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)=x
khi đó VT=\(\frac{2-\sqrt{2+x}}{2-x}=\frac{\left(2-\sqrt{2+x}\right)\cdot\left(2+\sqrt{2+x}\right)}{\left(2-x\right)\left(2+\sqrt{2+x}\right)}=\frac{1}{2+\sqrt{2+x}}\)
mà 2+x>2
=>\(\sqrt{2+x}>\sqrt{2}\)
=>\(2+\sqrt{x+2}>3\)
=>\(\frac{1}{2+\sqrt{2+x}}< \frac{1}{3}\)
vậy VT=VP(đpcm)
MK
13 tháng 6 2017
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
TM
25 tháng 10 2016
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử \(a\ge b\ge c\)(1)
Có \(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{a}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\\frac{2}{b}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{2}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Ta có đpcm
23 tháng 5 2018
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(BĐT Cosi)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b+c;b=a+c;c=a+b\Rightarrow a+b+c=0\) (KTM)
Vậy \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
17 tháng 9 2017
Ta có a và b không âm nên
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)(bất đẳng thức cô - si)
Cần chứng minh \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\). Xét hiệu hai vế
\(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\)
Xảy ra đẳng thức \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)hoặc\(a=b=0\)
\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+2-2\sqrt{a^2+1}\ge0\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)(đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a^2+1}-1=0\Rightarrow\sqrt{a^2+1}=1\Rightarrow a^2+1=1\Leftrightarrow a^2=0\Leftrightarrow a=0\)