Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : 4( b² + c² + d² + e²) ≥( b + c + d +e )² ( dễ lắm, bạn tự cm lấy nhé, )
=> ( b² + c² + d² + e²) ≥ ( b + c + d +e )²/4 (*)
G/s bdt đề bài đúng, ta có:
<=> a² + b²+ c² + d²+ e² - a(b + c + d +e) ≥ 0
Lại có ( *) => ta có : a² + b²+ c² + d² + e² - a(b + c + d +e) ≥ a² + ( b + c + d +e )²/4 - a(b + c + d +e)
<=> [ a - ( b + c+ d +e)/2]² => hiển nhiên đúng
Vậy ta có dpcm.
Với cách này ta cũng có thể chứng minh các bdt tương tự với 3 biến, 4 biến v.v....
Chúc bạn học giỏi, chào bạn!
\(4a^2+4b^2+4c^2+4d^2-4ab-4ac-4ad\) \(\ge 0\)
\(\leftrightarrow\) \(a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2\) \(\ge 0\)
\(\leftrightarrow\) \(\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+a^2\) \(\ge 0\) (luôn đúng)
Lời giải:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq a(b+c+d)\)
\(\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2\geq 4a(b+c+d)\)
\(\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+a^2\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng nên ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(0=a=2b=2c=2d\Leftrightarrow a=b=c=d=0\)
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
cách khác ạ :3
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng engel ta có :
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
2) Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)được : \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
áp dụng BĐT Cauchy cho hai số : \(a^2+\dfrac{1}{4}\ge a\)
\(b^2+\dfrac{1}{4}\ge b\) Cộng hai vế bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+\dfrac{1}{2}\ge a+b\) mà \(a+b=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\) dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
chứng minh cho 2 số trước sau đó áp dụng cho 3 số nhé
Cách 1: ta chứng minh\(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)
Thật vậy \(\frac{a^2d+c^2b}{bd}-\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)\(\ge0\)
\(\frac{\Leftrightarrow\left(a^2d+c^2b\right)\left(b+d\right)-\left(a+b\right)^2bc}{\left(b+c\right)bc}\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^2d+c^2b\right)\left(b+d\right)-\left(a+c\right)^2bd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2bd+a^2d^2+c^2b^2+c^2bd-a^2bd-2abcd-c^2bd}{ }\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(luônđúng\right)\)
tương tự dùng cho 3 số => đpcm
Cách 2: dùng bđt BUNIACOPSKI. ta có:
\(\left(\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}+\frac{c}{\sqrt{d}}.\sqrt{d}\right)^2\le\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\right)\left(b+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2\le\)\(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\right)\left(b+d\right)\)
\(\frac{\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2}{b+d}\le\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\) đến đây lại làm tt cách 1