Question

[Lê Hoàng Oanh]

Chứng minh 10ⁿ + 18n - 1 ⋮ 27

~Mọi người giúp mình với ạ . Mình cảm ơnnn.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Nếu $n$ chia hết cho $3$. Đặt $n=3k$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $A=10^n+18n-1=10^{3k}+18.3k-1=1000^k+54k-1$

Có:
$1000\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 1000^k\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}$

$54k\equiv 0\pmod {27}$

$\Rightarrow 1000^k+54k-1\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}$

Hay $A\equiv 0\pmod {27}(1)$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$. Đặt $n=3k+1$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó:

$A=10^{3k+1}+18(3k+1)-1=1000^k.10+54k+17$

$\equiv 1^k.10+0+17=27\equiv 0\pmod {27}(2)$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$. Đặt $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó:

$A=10^{3k+2}+18(3k+2)-1=1000^k.100+54k+35$

$\equiv 1^k.100+0+35=135\equiv 0\pmod {27}(3)$
Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow A\vdots 27$ với mọi $n$ tự nhiên.

Answer 2

[Lê Hoàng Oanh]

Em cảm ơn thầy/cô nhiều ạ .