VN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
Cho P=(x+y).(y+z).(z+x)+xyz
CM nếu x,y,z thuộc Z và x+y+z chia hết cho 6 thì Q=P-3xyz chia hết cho 6
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 7 2017
Lời giải:
Biến đổi:
\(P=(x+y)(y+z)(x+z)+xyz=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(z+x)+3xyz\)
\(\Leftrightarrow P=(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
Với \(x+y+z\vdots 6\Rightarrow P\vdots 6(1)\)
Giả sử \(x,y,z\) đều là các số nguyên lẻ, khi đó \(x+y+z\) lẻ thì không thể chia hết cho $6$ (vô lý)
Do đó , phải tồn tại ít nhất một trong ba số \(x,y,z\) là số chẵn
\(\Rightarrow 3xyz\vdots 6(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow Q=P-3xyz\vdots 6\)
Ta có đpcm
NM
1
30 tháng 7 2015
xy( x+ y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 3xyz
= xy(x+y) + xyz + yz(y+z) + xyz + xz(x+z) + xyz
= zy(x+y+z) + yz(x + y + z) + xz ( x+y+z)
= ( x+ y +z )( xy + yz + zx)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{matrix}\right.\)
\(B=\dfrac{16.\left(-z\right)}{z}+\dfrac{3.\left(-x\right)}{x}-\dfrac{2019.\left(-y\right)}{y}=2019-19=2000\)
LD
1
LC
2 tháng 10 2018
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
+, \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z;x+z=-y;y+z=-x\)
\(\Rightarrow P=\frac{xyz}{-xyz}=-1\)
+, \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^3}{2x\cdot2x\cdot2x}=\frac{1}{8}\)
\(P=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\)
\(=\left(xy+xz+y^2+yz\right)\left(z+x\right)+xyz\)
\(=xyz+x^2y+xz^2+x^2z+y^2z+xy^2+yz^2+xyz+xyz\)
\(=\left(xyz+x^2y+x^2z\right)+\left(xyz+xy^2+y^2z\right)+\left(xyz+xz^2+yz^2\right)\)
\(=x\left(xy+yz+zx\right)+y\left(xy+yz+zx\right)+z\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Mà \(x+y+z=20042004⋮6\)
=>\(P⋮6\)
Lại có; \(x+y+z⋮6\) nên trong 3 số phải có ít nhất 1 số chẵn
=>\(xyz⋮2\Rightarrow3xyz⋮6\)
=>\(P-3xyz⋮6\) (đpcm)