K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
3 tháng 4 2021

Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương

Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)

Đồng thời: 

\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\) 

\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)

28 tháng 5 2021

dấu = xảy ra khi nào ạ ?

NV
6 tháng 4 2019

\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)

\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2007}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=670\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

3 tháng 10 2019

\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\)

\(\le\frac{1}{2\sqrt{x^2yz}}+\frac{1}{2\sqrt{y^2xz}}+\frac{1}{2\sqrt{z^2xy}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}}{2\sqrt{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{2xyz}\le\frac{\frac{x+y+x+z+x+y}{2}}{2xyz}=\frac{x+y+z}{2xyz}\)

Dấu '=' xảy ra <=> x=y=z

3 tháng 10 2019

\(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{x^2yz}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{2\sqrt{xyz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2xyz}\)

Tương tự cộng vế với vế -> \(VT\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le VP\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z

NV
8 tháng 2 2020

\(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3xyz}\ge\frac{2}{\sqrt{3xyz\left(x+y+z\right)}}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)