Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
Ta có: \(x^4\ge0;y^4\ge0;z^4\ge0\)
\(x>y\Rightarrow x^4>y^4\)
\(y>z\Rightarrow y-z>0\)
\(x>z\Rightarrow z-x< 0\)
\(\Rightarrow y-z>z-x\)
\(\Rightarrow x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)>0\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\)
Vậy: \(x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)>0\)
Ta dễ dàng chứng minh BĐT
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
Chứng minh tương tự, cộng theo vế, ta có:
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1/3