Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)
Vậy:
\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{1+4xy}+\frac{\left(y+z\right)^2}{1+4yz}+\frac{\left(z+x\right)^2}{1+4zx}\right]\)
\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{3+4\left(xy+yz+zx\right)}\right]\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{9}{3+\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\) mà sao thế vào là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)^2\) vậy ạ?
Hi ~! Mình xin slot trước :)
Giải
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\) khi đó \(P=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của \(P\)
Ta có: \(x^2+xy+y^2=\frac{3\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}{4}\ge\frac{3\left(x+y\right)^2}{4}\)
Do đó ta cần chứng minh
\(\frac{x+y}{4yz+1}+\frac{y+z}{4xz+1}+\frac{x+z}{4xy+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}+\frac{y+z}{\left(x+z\right)^2+1}+\frac{x+z}{\left(x+y\right)^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(x+y+z=\frac{3}{2}\Rightarrow2x+2y+2z=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(x+z\right)=2\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x+y\\b=y+z\\c=z+x\end{cases}}\) thì ta cần chứng minh
\(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge\frac{3}{2}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{cases}}\)
Lại có: \(\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế các BĐT ta có: \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}+b-\frac{bc}{2}+c-\frac{ac}{2}\)
\(=\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
BĐT đã được c/m vậy ta có \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt bu nhi a cốp xki :
\(\left(2x^2+y^2\right)\left(\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(1\right)^2\right)\ge\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+y.1\right)^2=\left(2x+y\right)^2\)
=> \(\sqrt{2x^2+y^2}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(2x+y\right)\) => \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2x+y}{xy}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)\)
CM tương tự với hai cái còn lại
=> \(P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\cdot\sqrt{3}=3\)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y =z = căn 3
=0,5
Vì có gtnn khi xy=yz=zx=1:9 => x=y=z=1:3
Thay số và tính được gtnn là A=0.5
theo sách nâng cao và phát triển toàn 9 ta có \(A\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}\)
áp dụng bđt Schwarz thôi mak :
A >/ (x+y+z)/2
phần còn lại là c/m x+y+z >/ căn xy + căn yz + căn zx >/ 1 =>A >/ 1/2
thật lòng xin lỗi anh chị , em mới hok lớp 6 hà !!!!!!
@Akai Haruma
@Trần Thanh Phương
@HISINOMA KINIMADO