Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY TA CÓ
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{2}{xy}\Leftrightarrow\frac{2}{4}\ge\frac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow xy\ge4\)
A = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2=\frac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
Vậy GTNN của A = 25/2 tại x = y = 1/2
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=x^2+\frac{1}{x^2}+2+y^2+\frac{1}{y^2}+2\)
\(=4+\left(x^2+y^2\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge4+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2\sqrt{\frac{1}{\left(xy\right)^2}}\)
\(=4+\frac{1}{2}+\frac{2}{xy}\ge4+\frac{1}{2}+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=4+\frac{1}{2}+8=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{18}{x+y+z+3}=3\)
Áp dụng BĐT cosi với 2 số x,y > 0
Ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Leftrightarrow a\ge\sqrt{xy}\)
Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm \(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\)
ta có: \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}\ge\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)
Tiếp tục xét: \(\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{a}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{a}\)
A đạt GTNN khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Leftrightarrow x=y=a\)
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b
Được : \(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge1+\frac{4}{x+y}=1+4=5\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min A = 5 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(A=\frac{1}{x}+2x+\frac{1}{y}+2y-\left(x+y\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta được:
\(\frac{1}{x}+2x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.2x}=2\sqrt{2}\)
\(\frac{1}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{1}{y}.2y}=2\sqrt{2}\)
Theo đề : x + y = 1
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-1=-1+4\sqrt{2}\)
Vây Min A = \(-1+4\sqrt{2}\) khi x = y = 1/2