![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\frac{^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}\)
Theo tính chất tỉ lệ thức
\(\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\left(a;b\ne0\right)\)
\(\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\left(\frac{x^2}{a}\right)^{1006}+\left(\frac{y^2}{b}\right)^{1006}=2.\left(\frac{x^2+y^2}{a+b}\right)^{2006}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{2006}}\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét \(\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\)
\(=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\)
\(=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\) (do \(x-1=1-y\))
\(\Leftrightarrow\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\)
+ Giả sử \(x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}\) và \(x\ge1\ge y\)
Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)
+ Tương tự nếu \(y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}\) và \(y\ge1\ge x\)
Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Xét
(do )
+ Giả sử và
Do đó (Đpcm)
+ Tương tự nếu và
Do đó (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
Dấu = xảy ra khi .... Làm tiếp nhé
ta có: \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\)=> \(\frac{bx^4+ay^4}{ab}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\) (vì x^2 +y^2 =1)
=>\(abx^4+b^2x^4+aby^4+a^2y^4\) = \(ab\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\)
=>\(abx^4+b^2x^4+aby^4+a^2y^4\) = \(abx^4+2abx^2y^2+aby^4\)
=> \(b^2x^4-2abx^2y^2+a^2y^4=0\)
=>\(\left(bx^2-ay^2\right)^2=0\)=>\(bx^2=ay^2\Rightarrow\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
=> \(\frac{x^{2012}}{a^{1006}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1006}}\) và \(\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1006}}\)
=>\(\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1006}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a)\) Có \(2012=x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy\le1006^2\)
\(B=\frac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)}{x^2+2xy+y^2}+\frac{4xy}{x^2+2xy+y^2}=2+\frac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\le2+\frac{4.1006^2}{2012^2}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1006\)
\(b)\) \(C=\left(1+\frac{2012}{x}\right)^2+\left(1+\frac{2012}{y}\right)^2\ge\left[2+2012\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2\ge\left(2+\frac{2012.4}{x+y}\right)^2\)
\(=\left(2+\frac{2012.4}{2012}\right)^2=36\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1006\)
...
Từ giả thiết a + b = x + y ta có
(a + b)^2 = (x + y)^2,
hay a^2 + b^2 + 2ab = x^2 + y^2 + 2xy.
Lại vì a^2 + b^2 = x^2 + y^2 nên từ đẳng thức trên suy ra ab = xy. Từ đó ta có
(a - b)^2 = (x - y)^2,
suy ra a - b = x - y hoặc a - b = y - x.
Nếu a - b = x - y thì vì a + b = x + y nên a = x và b = y, và từ đó a^2012 + b^2012 = x^2012 + y^2012.
Nếu a - b = y - x thì vì a + b = x + y nên a = y và b = x, và từ đó a^2012 + b^2012 = y^2012 + x^2012.