Xét $\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)$

$=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)$

$=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)$ (do $x-1=1-y$)

$\iff \left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)$

+ Giả sử $x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}$ và $x\ge 1\ge y$

Do đó $\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge 0$ (Đpcm)

+ Tương tự nếu $y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}$ và $y\ge 1\ge x$

Do đó $\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge 0$ (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$