Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sử dụng bất đẳng thức:
\(x^3+y^3\ge3xy\left(x+y\right)\)
Có: \(M=2018\left(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{xz\left(x+z\right)+xyz}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{xz\left(x+y+z\right)}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{x+y+z}{x+y+z}\right)=2018\)
Vậy Max M=2018 khi x=y=z=1
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm:
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3y^3}=3xy\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\);\(\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Cộng các vế của các BĐT trên, ta được:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\)\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Tiếp tục áp dụng Cô - si:
\(BĐT\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Vậy \(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
\(x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự:
\(y^3+z^3+1\ge yz\left(x+y+z\right);z^3+x^3+1\ge zx\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\frac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\frac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}\cdot\sqrt{yz}\cdot\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
Đặt \(^{\hept{\begin{cases}x=a^2\\y=b^2\\z=c^2\end{cases}}\Rightarrow abc=1}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM :
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}\)
\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(P\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Do \(x;y;z>0\) và \(x^2+y^2+z^2=3\)
Nên \(0< x;y;z< \sqrt{3}\)
Ta có: \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9x}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}\)
\(\Rightarrow A\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}-\frac{1}{9x}-\frac{1}{9y}-\frac{1}{9z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge x+\frac{8}{9x}+y+\frac{8}{9y}+z+\frac{8}{9z}\)
Ta chứng minh: \(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge\)
Do đó \(A\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{102}{18}=\frac{17}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Dòng thứ 3 từ dưới lên là \(\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\)
Đúng do \(0< x< \sqrt{3}< 16\)
VT \(\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3.z^3.1}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3.x^3.1}}}{zx}\)( cauchy)
= \(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)
\(\ge3\sqrt{3}\)( cauchy)
"=" <=> x = y =z.
Bài này dùng \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) được không nhỉ ??
Em ngại làm lắm cô Chi, cô thử cách này có được không ạ ?
\(xyz+x^3+y^3\ge xy\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}\)
Các mấy cái kia cũng biến đổi vậy.
Không chắc nx :((
Ta chứng minh bổ đề \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-xy\left(x+y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Rightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}=\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{z}{x+y+z}\). Tương tự ta cũng có:
\(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{x}{x+y+z};\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(A\le\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
