Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/
bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo
\(x+y=4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow4>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=1\)(bđt svacxo)
\(x^2+y^2>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2};xy< =\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow P=x^2+y^2-xy>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}>=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)
dấu = xảy ra khi \(x+y=1;x=y\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)
vậy min P là \(\frac{1}{4}\)khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{xy+x+y+2}{x+y+2}=\frac{xy}{x+y+2}+1\)
Đặt \(Q=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)
Ta có: \(4=x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow xy\le2\)
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=8\Rightarrow x+y\le2\sqrt{2}\)
\(Q=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2}=1+\sqrt{2}\)
Suy ra \(P\le\frac{1}{1+\sqrt{2}}+1=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}+1=\sqrt{2}\).
Dấu \(=\)khi \(x=y=\sqrt{2}\).
TL:
P=xy+x+y+2x+y+2 =xyx+y+2 +1
Đặt Q=x+y+2xy =1x +1y +2xy
Ta có: 4=x2+y2≥2xy⇔xy≤2
(x+y)2≤2(x2+y2)=8⇒x+y≤2√2
Q=1x +1y +2xy ≥4x+y +2xy ≥42√2 +22 =1+√2
Suy ra P≤11+√2 +1=√2−1(1+√2)(√2−1) +1=√2.
Dấu = khi x=y=√2.
^HT^
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Em ko chắc nhá!
Giả sử x = max{x;y}.Ta tìm max của A = x(y+1).
Ta có: \(x^2=1-y^2\Rightarrow x=\sqrt{1-y^2}\).
Do đó ta tìm max của \(A=\left(y+1\right)\sqrt{1-y^2}\).
Xét hiệu \(A^2-\frac{27}{16}=-\frac{1}{16}\left(2y-1\right)^2\left(4y^2+12y+11\right)\le0\)
Nên \(A\le\frac{3\sqrt{3}}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi y = 1/2 khi đó \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy..
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
x>y=> x-y>0
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
=> áp dụng bđt cosi ta có: \(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{\left(x-y\right)}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)