Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : Tứ giác MPNQ là hình bình hành
MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
Ta có : Tứ giác EPFQ là hình bình hành
EF đi qua I
Vậy EF , MN và PQ đồng quy
a) Dễ thấy: ^CMN = 900 - ^ACB/2; ^AOQ = ^OAB + ^OBA = 900 - ^ACB/2 => ^CMN = ^AOQ
=> Tứ giác AOQM nội tiếp => ^AQO = ^AMO = 900 (1)
Tương tự ta có: Tứ giác BOPN nội tiếp => ^BPO = ^BNO = 900 (2)
Từ (1) và (2) => ^AQO = ^BPO hay ^AQB = ^BPA => Tứ giác ABPQ nội tiếp (đpcm).
b) Xét \(\Delta\)AQB vuông tại Q: E là trung điểm cạnh AB => ^EQB = ^EBQ = ^ABC/2 = ^QBC
=> QE // BC (2 góc so le trong bằng nhau). Mà EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF // AB
Do đó 3 điểm E,Q,F thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit) (đpcm).
c) Sửa điểm E thành điểm R cho đỡ trùng.
+) C/m : ^BAC = 900 => AR = AC ?
Chứng minh tương tự câu b ta có: PE //AC, gọi G là hình chiếu của O trên cạnh AB
Do ^BAC = 900 => AB vuông góc AC. Từ đó: AC // OG // PE. Áp dụng hệ quả ĐL Thales thì có:
\(\frac{r}{AD}=\frac{OG}{AD}=\frac{EG}{EA}=\frac{PO}{PA}=\frac{ON}{AR}=\frac{r}{AR}\)=> AD=AR (đpcm).
+) C/m : AR = AD => ^BAC = 900 ?
Lại theo hệ quả ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{OG}{AD}=\frac{r}{AR}=\frac{ON}{AR}=\frac{PO}{PA}=\frac{EO}{ED}\)
=> OG // AC (ĐL Thales đảo). Mà OG vuông góc AB => AB vuông góc AC hay ^BAC = 900 (đpcm).
d) Hệ thức cần chứng minh \(\Leftrightarrow r\left(AB+BC+CA\right)=OC\left(MN+2PQ\right)\)
\(\Leftrightarrow S_{ABC}=S_{CMON}+2S_{CPOQ}\Leftrightarrow2S_{AOB}=2S_{CPOQ}\Leftrightarrow S_{AOB}=S_{CPOQ}\)
\(\Leftrightarrow OG.AB=OC.PQ\Leftrightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{OG}{OC}\Leftrightarrow\frac{OQ}{OA}=\frac{OM}{OC}\)(Do tứ giác ABPQ nội tiếp)
\(\Leftrightarrow\Delta AOQ~\Delta COM\left(g.g\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AQO}=\widehat{CMO}\left(=90^0\right)\\\widehat{OAQ}=\widehat{OCM}\left(=\widehat{OMQ}\right)\end{cases}}\)(Điều này hiển nhiên đúng)
Vậy hệ thức cần chứng minh là đúng => ĐPCM.
gọi I là giao điểm của QM và BD
Áp dụng định lí Mê-nê-la-uyt cho \(\Delta ABD\)
\(\frac{AQ}{QD}.\frac{ID}{IB}.\frac{MB}{MA}=1\)
vì Q,M,I thẳng hàng , kết hợp với MA = QA suy ra \(\frac{MB}{QD}.\frac{ID}{IB}=1\)
Ta có : MB = NB ; DP = DQ ; PC = NC
nên \(\frac{NB}{DP}.\frac{ID}{IB}=1\Rightarrow\frac{PC}{PD}.\frac{ID}{IB}.\frac{NB}{NC}=1\)
do đó , theo định lí Mê-nê-la-uyt thì I,N,P thẳng hàng
từ đó ta được đpcm
a: Xét tứ giác BEDF có
BE//DF
BE=DF
Do đó: BEDF là hình bình hành
b: Ta có: BEDF là hình bình hành
nên Hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(1)
Ta có: ABCD là hình bình hành
nên Hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1) và (2) suy ra AC,BD,EF đồng quy
a, Trong \(\bigtriangleup{ABD}\) , ta có : MP là đường trung bình .
\(\Rightarrow\) MP // AD
MP = \(\dfrac{1}{2}\) AD
Ta có :
NQ // AD
MP = \(\dfrac{1}{2}\) AD
\(\Rightarrow\) PM = NQ (đpcm)
b,
Ta có : Tứ giác MPNQ là hình bình hành
\(\Rightarrow\) MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
Ta có : Tứ giác EPFQ là hình bình hành
\(\Rightarrow\) EF đi qua I
Vậy EF , MN và PQ đồng quy