Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
GỌi E;F thứ tự là hình chiếu của B,C trên AM và S1;S2;S3 là diện tích các tam giác AMB;AMC;BMC Ta có:
AM.BE+AM.CFAM.BE+AM.CF \leq AM.BD+AM.CDAM.BD+AM.CD Hay 2S1+2S22S1+2S2 \leq AM.(BD+CD)=AM.BC
Dấu = xảy ra khi AM vuông góc BC
tương tự có: 2S1+2S32S1+2S3 \leq BM.AC
2S2+2S32S2+2S3 \leq CM.AB
\Rightarrow AM.BC+BM.AC+CM.AB \geq 4SABC4SABC
dấu = xảy ra khi M là trực tâm tam giác ABC
D là giao điểm của AM và BC
chúc bạn học tốt
ĐÚNG 100%
bài này gần giống
Cho tam giác ABC , M nằm trong tam giác các dg thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt các cạnh BC,AC,AB tại A1,B1,C1?
xác đinh vị trí của M để
a, AM/A1M + BM/B1M +CM/ C1M đạt GTNN
b, AM/A1M . BM/B1M . CM/ C1M đạt GTNN
c, A1M/AM + B1M/BM +C1M/CM đạt GTLN
d, A1M/AM . B1M/BM . C1M/CM đạt GTLN
Bài làm
Đặt S(MBC) =S1, S(AMC) =S2; S(AMB) =S3
AM/A1M = S3/S(A1BM) = S2/S(CA1M) = (S2+S3)/S1
Tương tự
BM/B1M = (S1+S3)/S2
CM/C1M = (S1+S2)/S3
=> AM/A1M + BM/B1M +CM/C1M = (S2+S3)/S1 + (S1+S3)/S2 + (S1+S3)/S2
=(S2/S1 + S1/S2) + (S3/S1+S1/S3) + (S2/S3+S3/S2) >= 6
Khi M là trong tâm
b]
AM/A1M . BM/B1M . CM/ C1M= (S2+S3)/S1 + (S1+S3)/S2 + (S1+S3)/S2 >=8 (Cauchy)
Khi M là trọng tâm
c]
A1M/AM + B1M/BM +C1M/CM = S1/(S2+S3) +S2/(S1+S3) + S3/(S2+S1)=
= (S1+S2+S3) [1/(S2+S3) +1/(S1+S3) + 13/(S2+S1)] -3=
=1/2[(S1+S2) + (S2+S3) +(S3+S1)][1/(S2+S3) +1/(S1+S3) + 1/(S2+S1)] -3>=
>= 9/2 -3 =3/2
Khi M là trong tâm
d] Hệ quả từ B Max =1/8
Ta có : \(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OP}{CP}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có :
\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=\left(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\right).\left(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}\right)\ge\)
\(\ge\left(\sqrt{\frac{AM}{OM}.\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{BN}{ON}.\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{CP}{OP}.\frac{OP}{CP}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Vậy \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\) (đpcm)
