Question

[Nguyễn Minh Hiệu]

Cho tam giác ABC .M là điểm bất kì nằm trong tam giác.AM cắt BC tại A',BM cắt CA tại B',CM cắt AB tại C'.Chứng mính 

SA'B'C'<=1/4SABC

Answer 1

[Ben 10]

 bài này gần giống

Cho tam giác ABC , M nằm trong tam giác các dg thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt các cạnh BC,AC,AB tại A1,B1,C1?

xác đinh vị trí của M để 
a, AM/A1M + BM/B1M +CM/ C1M đạt GTNN 
b, AM/A1M . BM/B1M . CM/ C1M đạt GTNN 
c, A1M/AM + B1M/BM +C1M/CM đạt GTLN 
d, A1M/AM . B1M/BM . C1M/CM đạt GTLN

Bài làm

Đặt S(MBC) =S1, S(AMC) =S2; S(AMB) =S3 

AM/A1M = S3/S(A1BM) = S2/S(CA1M) = (S2+S3)/S1 

Tương tự 
BM/B1M = (S1+S3)/S2 
CM/C1M = (S1+S2)/S3 

=> AM/A1M + BM/B1M +CM/C1M = (S2+S3)/S1 + (S1+S3)/S2 + (S1+S3)/S2 
=(S2/S1 + S1/S2) + (S3/S1+S1/S3) + (S2/S3+S3/S2) >= 6 

Khi M là trong tâm 

b] 

AM/A1M . BM/B1M . CM/ C1M= (S2+S3)/S1 + (S1+S3)/S2 + (S1+S3)/S2 >=8 (Cauchy) 
Khi M là trọng tâm 

c] 

A1M/AM + B1M/BM +C1M/CM = S1/(S2+S3) +S2/(S1+S3) + S3/(S2+S1)= 
= (S1+S2+S3) [1/(S2+S3) +1/(S1+S3) + 13/(S2+S1)] -3= 
=1/2[(S1+S2) + (S2+S3) +(S3+S1)][1/(S2+S3) +1/(S1+S3) + 1/(S2+S1)] -3>= 
>= 9/2 -3 =3/2 

Khi M là trong tâm 


d] Hệ quả từ B Max =1/8