Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có vẻ bài này hơi không phù hợp với học sinh lớp 9. Đầu tiên ta sẽ phải sử dụng định lý sin cho tam giác: Trong tam giác ABC với bán kính đường tròn ngoại tiếp R thì tỷ số giữa cạnh và sin góc đối diện bằng 2R. Nhận xét tiếp theo: Diện tích tam giác bất kỳ một nửa tích độ dài hai cạnh nhân với sin của góc xen giữa hai cạnh đó.
Ta có \(S\left(ABC\right)=S\left(ABF\right)+S\left(ACF\right)=\frac{1}{2}AB\cdot AF\cdot\sin BAF+\frac{1}{2}AC\cdot AF\cdot\sin CAF\)
\(=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{CD}{2R}\cdot AF+\frac{1}{2}AC\cdot AF\cdot\frac{BD}{2R}=\frac{AF}{4R}\left(AB\cdot CD+AC\cdot BD\right).\) Do tứ giác ABDC nội tiếp nên theo định lý Ptoleme ta có \(AB\cdot CD+AC\cdot BD=AD\cdot BC.\) LSuy ra \(S\left(ABC\right)=\frac{AF\cdot AD\cdot BC}{4R}.\)
Tiếp theo ta có \(S\left(AMDN\right)=S\left(AMD\right)+S\left(ADN\right)=\frac{1}{2}AM\cdot AD\cdot\sin BAD+\frac{1}{2}AD\cdot AN\cdot\sin DAC\)
\(=\frac{1}{2}AF\cdot\cos DAC\cdot AD\cdot\sin BAD+\frac{1}{2}AD\cdot AF\cdot\cos BAD\cdot\sin DAC\)
\(=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cdot\left(\cos DAC\cdot\sin BAD+\sin DAC\cdot\cos BAD\right)=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AD\sin\left(DAC+BAD\right)\)
\(=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cdot\sin BAC=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cdot\frac{BC}{2R}=\frac{AF\cdot AD\cdot BC}{4R}.\)
Ở đây ta sử dụng công thức hình chiếu \(\sin\left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.\)
Vậy ta có tứ giác AMDN và tam giác ABC cùng diện tích.
Karin Korano
câu hỏi này của lớp 11 nhé !
1 cách trình bày khác; ngắn gọn hơn nha Thầy Giáo Toán
đặt ^BAE=^CAE=α; EAF=β
Ta có S∆ABC =1/2.AB.AF.sin(α+β)+1/2 .AC.AF sin α =AF/4R (AB.CD+AC.BD)
(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)
Diện tích tứ giác ADMN là
SADMN =1/2.AM.AD.sin α +1/2AD.AN.sin(α+β) = 1/2.AD.AF.sin(2α +β) =AF/4R.AD.BC (2)
Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có
: AB.CD + AC.BD = AD.BC (3).
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh
a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
Xét ΔABC có
BE là đường cao
CF là đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: AH⊥BC
hay AF⊥BC
Bổ đề 1: Xét tam giác nhọn ABC, trên cạnh AB,AC lần lượt lấy D,E sao cho BD = CE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DE,BC. Khi đó MN song song với đường phân giác trong của ^BAC.
Bổ đề 2: [Đường thẳng Gauss] Xét tứ giác lồi ABCD. AB giao CD tại X, AD giao BC tại Y. Gọi H,I,K thứ tự là trung điểm các đoạn AC,BD,XY. Khi đó H,I,K thẳng hàng.
Hai bổ đề trên khá quen thuộc, không trình bày ở đây.
Quay trở lại bài toán: Gọi V,J,L thứ tự là trung điểm của AI,DE,BC. Gọi JL cắt PQ tại R.
Dễ thấy V,J,L,R nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác AEID. Áp dụng bổ đề 1 ta thu được:
VR // AK. Mà V là trung điểm AI nên R là trung điểm IK (*)
Mặt khác ta thấy P,I,Q thẳng hàng, gọi PQ cắt (BID),(CIE) lần lượt tại S,T (S,T khác I), SB cắt TC tại F, Fx là phân giác ^BFC.
Ta có hai tam giác DIB,EIC có BD = CE, ^BID = ^EIC => (BID) = (EIC)
Theo tính chất của tâm nội tiếp thì SD = SP = SB, TE = TQ = TC. Từ đây SB = TC
Ta lại có biến đổi góc sau ^BFx = 1/2.^BFC = 900 - BDI/2 - ^CEI/2 = ^ADI/2 + ^AEI/2 - 900
= 1800 - ^DAE/2 - ^DIE/2 - 900 = ^EIT - ^DAE/2 = ^SBD - ^DAE/2 (= Góc hợp bởi AK và SB)
=> Fx // AK. Mà AK // RL nên Fx // RL. Áp dụng bổ đề 1 (với SB = TC) ta được R là trung điểm ST
Suy ra RS = RT => RP + SP = RQ + TQ => RP = RQ (Do SP = TQ) => R là trung điểm PQ (**)
Từ (*) và (**) suy ra KP = IQ. Như vậy KP + IK = IQ + IK => IP = QK (đpcm).
Trên tia đối của KG lấy điểm F sao cho KG=KF.
Ta có: \(\Delta\)ABC đều => ^A=600. Xét \(\Delta\)ADE có: ^A=600, AD=AE
=> \(\Delta\)ADE đều. Mà G là trọng tâm của \(\Delta\)ADE
=> G cũng là giao của 3 đường trung trực trong \(\Delta\)ABC
=> DG=AG (T/c đường trung trực) (1)
Xét \(\Delta\)GDK và \(\Delta\)FCK:
KD=KC
^DKG=^CKF => \(\Delta\)GDK=\(\Delta\)FCK (c.g.c)
KG=KF
=> DG=CF (2 cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) => AG=CF.
Cũng suy ra đc: ^GDK=^FCK (2 góc tương ứng) => ^GDE+^EDK=^FCB+^BCK
Lại có: ED//BC (Vì \(\Delta\)ADE đều) => ^EDK=^BCK (So le trong)
=> ^GDE=^FCB (Bớt 2 vế cho ^EDK, ^BCK) (3)
Xét \(\Delta\)ADE: Đều, G trọng tâm => DG cũng là phân giác ^ADE
=> ^GDE=^ADE/2=300.
Tương tự tính được: ^GAD=300 => ^GDE=^GAD hay ^GDE=^GAB (4)
Từ (3) và (4) => ^GAB=^FCB
Xét \(\Delta\)AGB và \(\Delta\)CFB có:
AB=CB
^GAB=^CFB => \(\Delta\)AGB=\(\Delta\)CFB (c.g.c)
AG=CF
=> GB=FB (2 cạnh tương ứng) (5).
=> ^ABG=^CBF (2 góc tương ứng). Lại có:
^ABG+^GBC=^ABC=600. Thay ^ABG=^CBF ta thu được:
^CBF+^GBC=600 => ^GBF=600 (6)
Từ (5) và (6) => \(\Delta\)GBF là tam giác đều. => ^BGF=600 hay ^BGK=600
K là trung điểm của GF => BK là phân giác ^GBF => ^GBK= ^GBF/2=300
Xét \(\Delta\)BGK: ^BGK=600, ^GBK=300 => ^BKG=900.
ĐS: ^GBK=300, ^BGK=600, ^BKG=900.
*Xong*
