Question

[Nguyễn Phương Mai]

Cho tam giác ABC có AB=AC. M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MK và MI lần lượt vuông góc với AB, AC ( K thuộc AB, I thuoccj AC ). CMR:

a) AM vuông góc với BC

b) MK=MI và IK song song BC.

c) AM vuông góc IK.

GIúp mk vs! mk tik xho

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB=MC$

Xét tam giác $AMB$ và $AMC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} AB=AC\\ MB=MC\\ AM \text{ chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle AMB=\triangle AMC(c.c.c)\)

\(\Rightarrow \angle AMB=\triangle AMC\)

Mà \(\angle AMB+\angle AMC=\angle BMC=180^0\)

Nên: \(\angle AMB=\angle AMC=90^0\Rightarrow AM\perp BC\)

b)

Do \(\triangle AMB=\triangle AMC\Rightarrow \angle ABM=\angle ACM\)

\(\Leftrightarrow \angle KBM=\angle ICM\)

\(\Leftrightarrow 90^0-\angle KBM=90^0-\angle ICM\)

\(\Leftrightarrow \angle KMB=\angle IMC\)

Xét tam giác $KBM$ và $ICM$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \angle KBM=\angle ICM\\ \angle KMB=\angle IMC\\ MB=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle KBM=\triangle ICM(g.c.g)\)

\(\Rightarrow KM=IM\) (đpcm) và \(KB=IC\)

\(\left\{\begin{matrix} KB=IC\\ AB=AC\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{KB}{AB}=\frac{IC}{AC}\)

Do đó theo định lý Thales đảo suy ra \(KI\parallel BC\) (đpcm)

c)

Vì \(AM\perp BC \) (theo phần a) và \(KI\parallel BC\) (theo phần b) nên \(AM\perp KI\) (đpcm)