Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Vì $BD, CE$ là đường cao nên \(BD\perp AC, CE\perp AB\)
\(\Rightarrow \widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{HDA}+\widehat{HEA}=180^0\)
Do đó tứ giác $ADHE$ nội tiếp.
Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ thì \(AI=IH=\frac{AH}{2}\)
Xét tam giác $AEH$ vuông tại $E$ có $I$ là trung điểm cạnh huyền $AH$ nên \(EI=\frac{AH}{2}\) (theo định lý về đường trung tuyến đối diện cạnh huyền của tam giác vuông).
Hoàn toàn tương tự \(DI=\frac{AH}{2}\)
Do đó: \(AI=HI=EI=DI\Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADHE$
b)
Vì ba đường cao của tam giác thì đồng quy tại một điểm nên hiển nhiên $AF$ là đường cao của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AFB}=90^0\)
\(\Rightarrow ADFB\) nội tiếp.
\(\Rightarrow \widehat{DAB}+\widehat{DFB}=180^0\) (hai góc đối nhau)
Mà \(\widehat{DFB}+\widehat{DFC}=180^0\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{DFC}(1)\)
Lại có: \(\widehat{DAB}=\widehat{BCx}\) (cùng chắn cung BC)
Do đó: \(\widehat{DFC}=\widehat{BCx}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(Cx\parallel DF\)
Ta có đpcm.
d)
Trên BF lấy điểm G sao cho GK //AB
=>KG⊥⊥CE (1) và BGBF=AKAFBGBF=AKAF (2)
theo câu c), DH là phân giác trong ˆKDFKDF^ (3)
=>HKHF=DKDFHKHF=DKDF (4)
có DA⊥⊥DH (5)
từ (3, 5) =>DA là phân giác ngoài ˆKDFKDF^
=>AKAF=DKDFAKAF=DKDF (6)
từ (2, 4, 6) =>BGBF=HKHFBGBF=HKHF (7)
trên tia đối tia BC lấy điểm J sao cho BJ =BG
=>BJBF=BGBFBJBF=BGBF (8)
từ (7, 8) =>BJBF=HKHFBJBF=HKHF
=>JK // BH
=>JK⊥⊥AC (8)
từ (1, 8) =>ˆJKG=ˆACHJKG^=ACH^ (9)
và có JF⊥⊥AH và (1)=>ˆKGJ=ˆCHAKGJ^=CHA^ (10)
từ (9, 10) =>△KGJ∼△CHA△KGJ∼△CHA (g, g)
=>KGCH=GJHA=2.GB2.HI=GBHIKGCH=GJHA=2.GB2.HI=GBHI (11)
từ (10, 11) =>△KGB∼△CHI△KGB∼△CHI (c, g, c)
=>ˆKBF=ˆCIFKBF^=CIF^
=>△FBK∼△FIC△FBK∼△FIC (đpcm)
và ˆICB+ˆFBKICB^+FBK^
=ˆBKF+ˆFBK=90∘=BKF^+FBK^=90∘
=>BK⊥CIBK⊥CI =>K là trực tâm của tam giác IBC (đpcm)
Hình gửi kèm
a: ΔOBC cân tại O
mà OI là trung tuyến
nên OI vuông góc BC
góc OIA=góc OMA=90 độ
=>OIMA nội tiếp
b: Xét (O) có
AM,AN là tiếp tuyến
=>AM=AN
mà OM=ON
nên OA là trung trực của MN
=>OA vuông góc MN tại H
Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có
góc HAK chung
=>ΔAHK đồng dạng với ΔAIO
=>AH/AI=AK/AO
=>AH*AO=AK*AI
ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao
nên AM^2=AH*AO
=>AM^2=AK*AI
