Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
! cảm ơn nhiều
\(ax_1+bx_2+c=0\)
\(x_2\)là nghiệm phương trình nên \(ax_2^2+bx_2+c=0\Rightarrow a\left(x_2^2-x_1\right)=0\Leftrightarrow x_2^2-x_1=0\Leftrightarrow x_1=x_2^2\)
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\).
Ta sẽ chứng minh \(a^2c+ac^2+b^3-3abc=0\).
Thật vậy, ta có:
\(a^2c+ac^2+b^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c}{a}+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^3-\frac{3bc}{a^2}=0\)
\(\Rightarrow x_1x_2+x_1^2x_2^2-\left(x_1+x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2+x_1^2x_2^2-x_1^3-x_2^3=0\)
\(\Leftrightarrow x_2^2x_2+x_1^2x_2-x_1^3-x_2^3=0\)
\(\Leftrightarrow0x_1^3+0x_2^3=0\)đúng.
Ta biến đổi tương đương nên đẳng thức ban đầu cũng đúng.
Khi đó \(M=0+2018=2018\).
Giả sử pt: \(x^2+bx+c=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn đề bài.
Theo hệ thức Vi - ét ta có: \(x_1+x_2=-b\) và \(x_1x_2=c\)
Kết hợp với giải thiết ta có: \(x_1=x^2_2+x_2\) và \(b+c=4\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow x^3_2-2x_2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2-2\right)\left(x^2_2+2x_2+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x_2=2\)(Vì: \(x^2_2+2x_2+2=\left(x_2+1\right)^2+1>0\))
Khi đó ta có: \(x_1=4+2=6\Rightarrow b=-8\)và \(c=12\)
Thử lại với \(b=-8;c=12\)ta được pt sau:
\(x^2-8x+12=0\)
\(\Leftrightarrow x_1=6;x_2=2\)(Thỏa mãn yêu cầu bài toán)
Vậy \(\left(b,c\right)=\left(-8;12\right)\) là cặp cần tìm.
Lời giải:
Nếu PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì theo định lý Vi-et ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\). Thay \(x_1=x_2^2\) ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_2^2+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_2^3=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_2^2+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_2=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{c^2}{a^2}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}=\frac{-b}{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{c^2a}+\sqrt[3]{ca^2}=-b\). Đặt \(\sqrt[3]{c^2a}=m; \sqrt[3]{ca^2}=n; b=p\)
Khi đó: \(m+n=-p\)
Suy ra:
\(b^3+a^2c+ac^2=p^3+n^3+m^3=p^3+(n+m)^3-3nm(n+m)\)
\(=p^3+(-p)^3-3nm(-p)=3nmp=3\sqrt[3]{ca^2}.\sqrt[3]{c^2a}.b=3abc\) .
Ta có đpcm.
ko bít làm
đợi đang nghĩ