Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét bài toán phụ sau:
Nếu \(a+b+c=0\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\) \(\left(a,b,c\ne0\right)\)
Thật vậy
Ta có: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\cdot\frac{a+b+c}{abc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\cdot\frac{0}{abc}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
Bài toán được chứng minh
Quay trở lại, ta sẽ áp dụng bài toán phụ vào bài chính:
Ta có: \(P=\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{779^2}+\frac{1}{801^2}}\)
Vì \(2+1+\left(-3\right)=0\) nên:
\(\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}}=\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-3\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}\)
Tương tự ta tính được:
\(\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\) ; ... ; \(\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{799^2}+\frac{1}{801^2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{799}-\frac{1}{801}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2}+\frac{1}{799}-\frac{1}{801}\)
\(=\frac{1}{2}\cdot400+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{799}-\frac{1}{801}\right)\)
\(=200+\frac{800}{801}=\frac{161000}{801}=\frac{a}{b}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=161000\\b=801\end{cases}}\)
\(\Rightarrow Q=161000-801\cdot200=800\)
Ap dung \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ta co \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)\)
=> \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)< 2.1=2\)
Suy ra P khong phai so nguyen to
Gọi ƯCLN(21n+4,14n+3)=d
=>21n+4\(⋮\)d =>42n+8\(⋮\)d (1)
=>14n+3\(⋮\)d =>42n+9\(⋮\)d (2)
Từ (1) và (2) => (42n+9)-(42n+8)\(⋮\)d =>1\(⋮\)d =>d=1 (vì d=ƯCLN)
=> \(\frac{21n+4}{14n+3}\)là phân số tối giản, với mọi n\(\in\) N (ĐCCM)
Vậy \(\frac{21n+4}{14n+3}\)là phân số tối giản với mọi n\(\in\)N
ta sẽ chứng minh với \(a\in Q\) thì \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\) là số hữ tỉ
ta có \(M=\frac{1}{1}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{a+1}-\frac{2}{a\left(a+1\right)}-\frac{2}{a}+\frac{2}{a+1}+\frac{2}{a\left(a+1\right)}\)
\(=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\right)^2+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a\left(a+1\right)}-\frac{1}{a+1}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}\right)^2+2\left(\frac{1+a-\left(a+1\right)}{a\left(a+1\right).1}\right)=\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}\right)^2\)
=> \(\sqrt{M}=\left|1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}\right|\) là số hữu tỉ
=> A lá số hữ tỉ
Áp dụng thì ta có mỗi phân thức là số hữ tỉ nên tổng của nó là sô hưux tỉ
Giả sử cả 3 số nguyên dương a,b,c là số lẻ khi đó từ giả thiết suy ra a+b = abc
vì a,b,c là số lẻ nên a+b là số chẵn và a.b.clà số lẻ do đó a+b = abc là vô lí
Do đó điều giả sử là sai vậy 1 trong 3 số đã cho có ít nhất 1 số chẵn suy ra abc là số chẵn
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$
Ta có:
$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{2}{2(n+1)\sqrt{n}}=\frac{2}{(n+1)\sqrt{n}+(n+1)\sqrt{n}}$
$< \frac{2}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}$
Do đó:
$P< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+....+\frac{2}{\sqrt{2007}}-\frac{2}{\sqrt{2008}}=2-\frac{2}{\sqrt{2008}}< 2$
Do đó $P$ không thể là số nguyên tố.
gọi d=( n+1, 2n+1)
=> n+1 chia hết cho d=> 2n+2 chia hết cho d
=>2n+1 chia hết cho d=> 2n+1 chia hết cho d
=> ( 2n+2)-( 2n+1) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d= -1 hoặc +1
=> phân số n+1/2n+1 là phân số tối giản
b, giải
Gọi d là \(UCLN\left(n+1,n+2\right)\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n+1⋮d\\n+2⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)-\left(n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow UCLN\left(n+1,n+2\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{n+1}{n+2}\) là phân số tối giản (ĐPCM)
Mình mới lớp 7 thôi nên câu này mình không biết.Xin lỗi nha.