Question

[Nhật Phong Nguyễn]

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax, By, nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ AB). Từ điểm D bất kì trên nửa đường tròn (D ≠ A, B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại M và N.

a)     Tính góc MON                       

b)    Chứng minh tích AM. BN không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên nửa (O)

c)     Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN

d)    Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AD và MO; BD và NO. Tứ giác IDKO là hình gì? Vì sao?

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/ 

Ta có

\(OM\perp AD;ON\perp BD\)(Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm) \(\Rightarrow\widehat{MON}=\widehat{ADB}\)(góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mà \(\widehat{ADB}=90^o\)(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{MON}=\widehat{ADB}=90^o\)

b/

Xét tg vuông MON có 

\(OD^2=DM.DN\)(Trong tg vuông bình phương đường cao của tg bằng tích của hai hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Mà \(DM=AM;DN=BN\)(Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow DM.DN=AM.BN=OD^2\) (không đổi) => AM.BN không phụ thuộc vị trí điểm D

c/

Xét tg vuông MON

Gọi O' là trung điểm của MN => O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tg MON => O'O là bán kính của đường tròn (O')

Ta có

\(AM\perp AB;BN\perp AB\) (1) => AM//BN => AMNB là hình thang

Ta có

O'M=O'N; OA=OB => O'O là đường trung bình của hình thang AMNB => O'O//AM//BN (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow O'O\perp AB\) (cùng // với AM) => AB là tiếp tuyến (O')

d/

Ta có

\(AD\perp BD\Rightarrow ID\perp BD;ON\perp BD\left(cmt\right)\Rightarrow KO\perp BD\) => ID//KO

\(BD\perp AD\Rightarrow KD\perp AD;OM\perp AD\left(cmt\right)\Rightarrow OI\perp AD\)=> KD//OI

=> IDKO là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) 

Mà \(\widehat{ADB}=90^o\left(cmt\right)\)

=> IDKO là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)