Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ OC và OD
a)Ta có: AC và CM là tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại C
=>CM=AC (1) , OC là phân giác của ∠AOM ⇔ ∠AOC= ∠MOC
Lại có: BD và MD là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại D
=> BD=MD(2) , OD là tia phân giác của ∠BOM ⇔ ∠BOD =∠MOD
Vì ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=∠AOB=180O
Mà ∠AOC=∠COM, ∠MOD=∠DOB
Nên ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=180o
⇔ 2∠COM+ 2∠MOD=180o
⇔ 2(∠COM+ ∠MOD)=180o
⇔ ∠COM+ ∠MOD=\(\dfrac{180^0}{2}\)=90o
Vì ∠COD=∠COM+ ∠MOD mà ∠COM+ ∠MOD=90o nên ∠COD=90o =>△COD là tam giác vuông(3)
Từ (1),(2) và(3), suy ra:
Trong △COD,có: CD=CM+MD =AC+BD
Vậy CD=AC+BD (đpcm)
b) Lấy I là trung điểm của CD (I ∈ CD) và kẻ OI
Ta có: △COD là tam giác vuông
Và OI ứng với cạnh huyền CD=> IO=\(\dfrac{CD}{2}\)
=> IO=CI=ID (1)
Vì AC⊥AB⊥BD nên AC song song với BD
=> ACDB là hình thang vuông(1)
Lại có: I là trung điểm của CD và O là trung điểm của AB
=>OI là đường trung bình của hình thang ACDB(2)
Từ (1) và (2), suy ra: IO ⊥AB
=> AB là tiếp tuyến của đường tòn đường kính CD (đpcm)
a: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến
DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
hay ΔCOD vuông tại O
b: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=MO^2=R^2=AC\cdot BD\)
a, Vì M B C ^ = M D B ^ = 1 2 s đ C B ⏜ nên chứng minh được ∆MBC:∆MDB (g.g)
b, Vì
M
B
O
^
+
M
A
O
^
=
180
0
nên tứ giác MAOB nội tiếp
c, Đường tròn đường kính OM là đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAOB => r = M O 2
Gọi H là giao điểm của AB với OM
=> OH ⊥ AB; AH = BH = R 3 2
Giải tam giác vuông OAM, đường cao AH ta được OM = 2R Þ r = R
d, Ta có M I B ^ = s đ D E ⏜ + s đ B C ⏜ 2 và M A B ^ = s đ A C ⏜ + s đ B C ⏜ 2
Vì AE song song CD => s đ D E ⏜ = s đ A C ⏜ => M I B ^ = M A B ^
Do tứ giác MAIB nội tiếp hay 5 điểm A, B, O, I, M nằm trên cùng 1 đường tròn kính MO
Từ đó ta có được M I O ^ = 90 0 => OI ⊥ CD hay I là trung điểm của CD
Bài 1:
a) Ax ⊥ OA tại A, By ⊥ OB tại B nên Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CM = CA; DM = DB;
∠O1 = ∠O2; ∠O3 = ∠O4
⇒ ∠O2 + ∠O3 = ∠O1 + ∠O4 = 1800/2 = 900 (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù).
⇒ ∠OCD = 900
b) CM và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn, cắt nhau tại C nên CM = CA
Tương tự:
DM = DB
⇒ CM + DM = CA + DB
⇒ CD = AC + BD.
c) Ta có OM ⊥ CD
Trong tam giá vuông COD, OM Là đường cao thuộc cạnh huyển
OM2 = CM.DM
Mà OM = OA = OA = AB/2 và CM = AC; DM = BD
Suy ra AC.BD = AB2/2 = không đổi
a) Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: CM+MD=CD(M nằm giữa C và D)
mà CM=CA(cmt)
mà DM=DB(cmt)
nên AC+BD=CD(đpcm)
b) Gọi G là tâm của đường tròn đường kính CD
Xét (G) có CD là đường kính
nên G là trung điểm của CD
Ta có: AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))
BD⊥BA(BD là tiếp tuyến của (O))
Do đó: AC//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét tứ giác ACDB có AC//DB(cmt)
nên ACDB là hình thang có hai đáy là AC và DB(Định nghĩa hình thang)
Xét (O) có AB là đường kính
nên O là trung điểm của AB
Hình thang ACDB(AC//DB) có
G là trung điểm của cạnh bên CD(cmt)
O là trung điểm của cạnh bên AB(cmt)
Do đó: GO là đường trung bình của hình thang ACDB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
⇒GO//AC//BD và \(GO=\dfrac{AC+BD}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)
Ta có: GO//AC(cmt)
AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))
Do đó: GO⊥AB(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
hay GO⊥OA
Xét (O) có
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{COM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{AOM}\)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)
Ta có: \(\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC và OD)
hay \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)
nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)
mà OG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(G là trung điểm của CD)
nên \(OG=\dfrac{CD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(CG=\dfrac{CD}{2}\)(G là trung điểm của CD)
nên OG=CG
⇔OG=R'
hay O∈(G)
Xét (G) có
O∈(G)
AO⊥GO tại O(cmt)
Do đó: AO là tiếp tuyến của (G)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)
⇔AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD(đpcm)