Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề: Do x+(-x) = 0 (mod 2) nên ta cũng có x = -x = |x| (mod 2).
Vậy S = (a1-a2)+(a2-a3)+...+(an-a1) (mod 2)
<=> S = 0 (mod 2) (đpcm).
Ta có :n số hạng :a1 ;a2 ; a3 ; ... ; an-1 ;an chỉ nhận các giá trị bằng 1 hoặc -1 Suy ra :Các tích :a1a2 ; a2a3 ; ...; ana1 chỉ nhận các giá trị bằng 1 hoặc -1 Mà a1a2+a2a3+a3a4+...+ana1=0 Suy ra các số hạng trong dãy có giá trị bằng 1 và -1 là bằng nhau Mà dãy có n số hạng Suy ra có n/2 số hạng có giá trị bằng -1 Lại có : (a1a2)(a2a3)(a3a4)...(ana1)=(a1a2a3...an)(a1a2a3...an)=1>0 Chứng tỏ n/2 số hạng có giá trị bằng -1 là số chẵn Suy ra n/2 chia hết cho 2 Suy ra n chia hết cho 4 Vậy n chia hết cho 4
Ta có với số nguyên a bất kì:
| a | - a = a - a = 0 là số chẵn nếu a\(\ge\)0
| a | - a = -a - a = -2a là số chẵn nếu a < 0
Tóm lại: | a | - a là số chẵn với a nguyên bất kì
=> | a1 - a2 | - ( a1 - a2) là số chẵn
| a2 - a3 | - ( a2 - a3) là số chẵn
| a3 - a4 | - ( a3 - a4) là số chẵn
....
| an- a1 | - ( an - a1) là số chẵn
=> [ | a1 - a2| + |a2 - a3| + | a3 - a4| +...+ |an - a1| ] - [( a1 - a2) + (a2 - a3) + ( a3 - a4)+...+ (an - a1) ] là số chẵn
mà ( a1 - a2) + (a2 - a3) + ( a3 - a4)+...+ (an - a1) = 0 là số chẵn
=> | a1 - a2| + |a2 - a3| + | a3 - a4| +...+ |an - a1| là số chẵn
Vậy S luôn là 1 số chẵn.
n số a1, a2, …, an mà mỗi số trong chúng bằng1 hoặc -1 nên \(a_1.a_2;a_2.a_3;...;a_{n-1}.a_n;a_n.a_1\)nhận giá trị 1 hoặc -1.
Mà ta có \(a_1.a_2+a_2.a_3+...+a_{n-1}.a_n+a_n.a_1=0\)nên trong các hạng tử \(a_1.a_2;a_2.a_3;...;a_{n-1}.a_n;a_n.a_1\)sẽ có 1 nửa nhận giá trị 1, nửa còn lại nhận giá trị -1.
Đặt \(n=2k\)
Mặt khác: \(\left(x_1.x_2\right)\left(x_2.x_3\right)...\left(x_n.x_1\right)=\left(x_1\right)^2.\left(x_2\right)^2...\left(x_n\right)^2=1\)
\(\Rightarrow1^k.\left(-1\right)^k=1\Rightarrow\left(-1\right)^k=1\)nên k chẵn
Vậy \(n⋮4\)(đpcm)