Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{xy\sqrt{z-1}}{xyz}+\frac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\frac{yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\\ =\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\)
Áp dụng BDT Cô-si với 2 số không âm:
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\\ \le\frac{1+\left(z-1\right)}{2z}+\frac{2+\left(y-2\right)}{2\sqrt{2}y}+\frac{3+\left(x-3\right)}{2\sqrt{3}x}\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z-1=1\\y-2=2\\x-3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2\\y=4\\x=6\end{matrix}\right.\)
Vậy.......
\(=>A=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
áp dụng BĐT AM-GM
\(=>\sqrt{x-1}\le\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{x}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{\dfrac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)
có \(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\)
\(=>\sqrt{\left(y-2\right)2}\le\dfrac{y-2+2}{2}=\dfrac{y}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\le\dfrac{\dfrac{y}{2}}{\sqrt{2}.y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\right)\)
tương tự \(=>\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(3\right)\)
(1)(2)(3)\(=>A\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow1+x^3+y^3\ge xyz+xy\left(x+y\right)=xy\left(x+y+z\right)\ge3xy\sqrt[3]{xyz}=3xy\)
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz}=\sqrt{\frac{3}{yz}}\); \(\frac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3xz}}{xz}=\sqrt{\frac{3}{xz}}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge3\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x^2y^2z^2}}}=3\sqrt{3}\)
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
Đặt \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca=1\end{matrix}\right.\)
\(K=\frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{\frac{1}{bc}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{b}}{\sqrt{\frac{1}{ac}\left(1+\frac{1}{b^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{c}}{\sqrt{\frac{1}{ab}\left(1+\frac{1}{c^2}\right)}}\) \(=\frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{\frac{a^2+1}{a^2bc}}}+\frac{\frac{1}{b}}{\sqrt{\frac{b^2+1}{ab^2c}}}+\frac{\frac{1}{c}}{\sqrt{\frac{c^2+1}{abc^2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\frac{ca}{b^2+1}}+\sqrt{\frac{ab}{c^2+1}}\) \(=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\frac{ca}{b^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\frac{ab}{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\) \(\Rightarrow K\le\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c
đến đây thì tự làm tiếp đi
