![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)
\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)
Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Ta có:
\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)
\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
Q = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 5012 a − 7518 b = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 2506 2 a + 3 b
+ Vì a, b dương và 2 a + 3 b ≤ 4 ⇒ 0 < 2 a + 3 b ≤ 4 do đó
Q ≥ 2002.2. 1 a .4 a + 2017.2. 1 b . b − 2506.4 = 2018 với mọi a, b>0 và 2 a + 3 b ≤ 4 , dấu bằng xảy ra khi a = 1 2 và b= 1.
+ Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2018 khi a = 1 2 và b= 1..
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x+y+2xy=\dfrac{15}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{15}{2}\le\left(x+y\right)+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)-15\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+5\right)\left(x+y-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge3\) (vì \(x+y+5>0\) với mọi x,y dương)
\(\Rightarrow P_{min}=3\)
Dấu = xảy ra <=> \(x=y=\dfrac{3}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Thay \(1=\left(x+y\right)^3\)vào biểu thức A ta có :
\(A=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\frac{\left(x+y\right)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{xy}\)
\(=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y^3}{xy}\)
\(=4+\left(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{\frac{3xy\left(x^3+y^3\right)}{xy\left(x^3+y^3\right)}}\)\(=4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)(chỗ này áp dụng cosi 2 số)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\dfrac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}=\dfrac{\left(a+b+c+a\right)\left(b+a+b+c\right)\left(c+a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}.2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
$A=(x+y)(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2+y^2)+(x-y)^2$
$\geq 2(x^2+y^2)=(1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2=2^2=4$ (theo BĐT Bunhiacopxky)
Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
cac cap tam giac co dien h bang nhau la AOB va BOC. Vi co cap song song voi nhau va cat toi diem O
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)