NV
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
là các số dương thỏa mãn 
HQ
9 tháng 2 2021
biến đổi: \(P=1.\left(\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\right)=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{y}{16x}+\dfrac{x}{4y}\right)+\left(\dfrac{z}{16x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{z}\right)+\dfrac{21}{16}\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho từng ngoặc ta được:
\(\dfrac{y}{16x}+\dfrac{x}{4y}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{16x}.\dfrac{x}{4y}}=\dfrac{1}{4}\)
hoàn toàn tương tự: \(\dfrac{z}{16x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{z}\ge1\)
=> P>=49/16
K
11 tháng 5 2023
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:
P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a
Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0
Vậy giá trị lớn nhất của P là:
P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b
Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:
P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)
Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).
BK
1
25 tháng 1 2022
Theo BĐT Cauchy Schwarz
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1/3
25 tháng 4 2021
\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)
Áp dụng BĐT cô si với các số dương x2 ; y2 ; x4 ; y4 ta được :
\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)
\(B=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (Dấu bằng xảy ra khi a=b), ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
Tương tự: \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\), \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)
Suy ra \(B\ge2+2+2=6\)
Vậy GTNN của B là 6 khi \(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{c}{a}=\frac{a}{c}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
ab+ba≥2;bc+cb+ac+ca≥2ab+ba≥2;bc+cb+ac+ca≥2
Cộng vế →B≥6