Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}+\sqrt{x^2+y^2-8x-14y+65}=6\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2+\left(7-y\right)^2}=6\sqrt{2}\left(^∗\right)\)
Xét hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x+2;y-1\right)\)và \(\overrightarrow{v}=\left(4-x;7-y\right)\)
Ta có: \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;6\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)
Do vậy \(\left(^∗\right)\)trở thành\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\)và \(\overrightarrow{v}\)cùng hướng
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(7-y\right)=\left(y-1\right)\left(4-x\right)\\\left(x+2\right)\left(4-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x+3\\-2\le x\le4\end{cases}}\)
Khi y = x + 3 thì \(x^2+y^2-2x+2y+2=2x^2+6x+17\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=2x^2+6x+17\)trên đoạn \(\left[-2;4\right]\)
Ta có: \(-\frac{6}{2.2}=\frac{-3}{2}\in\left[-2;4\right]\)và \(f\left(-2\right)=13;f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2};f\left(4\right)=73\)
Suy ra \(|^{min}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=\frac{25}{2}\);\(|^{max}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=73\)
Do đó \(m=\frac{25}{2};M=73\)và \(n+M=\frac{171}{2}\)
Vậy \(n+M=\frac{171}{2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-4=a\\y-3=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=5\)
\(Q=\sqrt{\left(a+5\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2\left[\left(a+5\right)^2+b^2+\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2\right]}\) (Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+8a+b^2+4b+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2.4a+b^2+2.2b+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2\left(a^2+4\right)+b^2+2\left(b^2+1\right)+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(3a^2+3b^2+35\right)}\le\sqrt{4\left(3.5+35\right)}=10\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=4\end{matrix}\right.\)
\(P=\sqrt{6\left(x+y\right)+9}+\sqrt{2}.\sqrt{51-6\left(x+y\right)}\)
\(P\le\sqrt{\left(1+2\right)\left[6\left(x+y\right)+9+51-6\left(x+y\right)\right]}=6\sqrt{5}\)
\(P_{max}=6\sqrt{5}\) khi \(x+y=\frac{11}{6}\)