Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\\ =\left(\frac{3}{a^2}+3b^2\right)+\left(\frac{3}{b^2}+3a^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\left(ab+ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-10ab\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với 2 số không âm:
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\\ \ge2\sqrt{\frac{3}{a^2}\cdot3b^2}+2\sqrt{\frac{3}{b^2}\cdot3a^2}-\left(a+b\right)^2-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\cdot4\sqrt{ab\cdot ab\cdot\frac{1}{a^2}\cdot\frac{1}{b^2}}-\frac{10\left(a+b\right)^2}{4}\\ =\frac{6b}{a}+\frac{6a}{b}-4-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+24-10\\ =10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
\(VT=\left(\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}\right)\left[\left(\frac{\sqrt{a}}{b+c}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b}}{c+a}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{c}}{a+b}\right)^2\right]\)
Áp dúng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(VT\ge\left(\sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{b+c}+\sqrt{b}.\frac{\sqrt{b}}{c+a}+\sqrt{c}.\frac{\sqrt{c}}{a+b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\)
Xét \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có \(VT=a^2+b^2+c^2+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow VT=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\) (Vì abc=1)
ÁP dụng bđt Cô-si cho 3 số dương, ta có:\(a^2+\frac{1}{b^2}+ab^2\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{b^2}}=3a\)
\(b^2+\frac{1}{c^2}+bc^2\ge3b\) \(c^2+\frac{1}{a^2}+ca^2\ge3c\)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(a+b+c\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)+3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3\left(a+b+c+1\right)\) Vì abc=1. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Ta có :
\(P=2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
\(=2a^2+2b^2-\frac{6a}{b}+\frac{6b}{a}+\frac{9}{a^2}+\frac{9}{b^2}\)
\(=\left(\frac{3}{a^2}+3b^2\right)+\left(\frac{3}{b^2}+3a^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\left(2ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-10ab\)
\(=\left(\frac{3}{a^2}+3b^2\right)+\left(\frac{3}{b^2}+3a^2\right)-4-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\left(2ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-10ab\)
Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương ta có :
\(+,\frac{3}{a^2}+3b^2\ge2\sqrt{\frac{3}{a^2}.3b^2}=\frac{6b}{a}\left(1\right)\)
+, \(\frac{3}{b^2}+3a^2\ge2\sqrt{\frac{3}{b^2}.3a^2}=\frac{6a}{b}\left(2\right)\)
\(+,\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{a}{b}}=2\Leftrightarrow6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=12\left(3\right)\)
+, \(ab+ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\sqrt{ab.ab.\frac{1}{a^2}.\frac{1}{b^2}}=1\Leftrightarrow6\left(ab+ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=6\)
+) \(ab\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow10ab\ge10\)
Cộng vế với vế ta có :
\(P\ge10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
mẹo để tách như dòng 3 là thế nào vậy ạ