DM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NB
2
TT
6 tháng 3 2020
Ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Áp dụng vào bài toán có :
\(P\le\frac{x+y}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}+\frac{y+z}{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}+\frac{z+x}{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}\) \(=\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\), \(\frac{4}{y+z}\le\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), \(\frac{4}{z+x}\le\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\)
Do đó : \(P\le\frac{1}{2}\left[2.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]=2016\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{672}\)
P/s : Dấu "=" không chắc lắm :))
1 tháng 7 2017
Đề sai nhá đáng nẽ là ; CMR : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
Vì \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)
Bình phương cả hai vế ta có : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(-\frac{1}{xy}+-\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\frac{x-y-z}{zyz}=1\)
Vì x = y + z => x - y - z = 0
Nên : \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+0=1\)
Vậy \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)(đpcm)
3 tháng 12 2018
\(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=1\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}-\frac{2}{xz}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+\frac{2}{xy}-\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+\frac{2z-2x+2y}{xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+\frac{2z-2\left(y+z\right)+2y}{xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1+0=1\)
CB
5 tháng 5 2019
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\x+z-y=c\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{a+c}{2}\\y=\frac{a+b}{2}\\z=\frac{b+c}{2}\end{cases}}\left(\hept{\begin{cases}a=x+y-z>0\\b=y+z-x>0\\c=x+z-y>0\end{cases}}\right)}\)
Do đó Bđt cần CM có dạng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a+c}+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}\)
Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)và \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\)
Do đó: Cộng vế theo vế:
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\)
Suy ra:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a+c}+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}\)
Vậy => đpcm
20 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) => \(x=y=z\).(*)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được : \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x^5+y^5+z^5}\) \(=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z ( đã có ở (*) )
Vậy \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\) ( đpcm) với x=y=z
3 tháng 7 2019
Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\) (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b
Áp dụng ta có
\(\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+2z+x}\ge\frac{4}{2\left(x+2y+z\right)}=\frac{2}{x+2y+z}\)
\(\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+2x+y}\ge\frac{2}{x+y+2z}\)
\(\frac{1}{z+3x}+\frac{1}{x+2y+z}\ge\frac{2}{2x+y+z}\)
Cộng các vế của các bđt trên
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\Rightarrow\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=1\)
=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{xy}-\frac{2}{xz}+\frac{2}{yz}=1\)
Ta có:\(-\frac{2}{xy}-\frac{2}{xz}+\frac{2}{yz}=-2\left(\frac{z+y-z}{xyz}\right)=0\)(Do x=y+z=>y+z-x=0)
=>ĐPCM