Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc BEC=góc BFC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
=>góc AFE=góc ACB
b: Xét ΔABD và ΔANC có
góc ABD=góc ANC
góc BAD=góc NAC
=>ΔABD đồng dạng với ΔANC
=>AB/AN=BD/NC
=>AB*NC=AN*BD
a) Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BFC}\) và \(\widehat{BEC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Ta có: BCEF là tứ giác nội tiếp(cmt)
nên \(\widehat{EBC}=\widehat{EFC}\)(hai góc cùng nhìn cạnh EC)
hay \(\widehat{MBC}=\widehat{HFE}\)(1)
Xét (O) có
\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
\(\widehat{MNC}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MNC}\)(Hệ quả góc nội tiếp)
hay \(\widehat{MBC}=\widehat{HNM}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{HFE}=\widehat{HNM}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên FE//MN(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
1) Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}\left(=90^0\right)\)
mà hai góc này cùng nhìn cạnh BC dưới những góc bằng nhau
nên BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
2) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)(Đpcm)
a/
Ta thấy F và E đều nhìn BC dưới cùng 1 góc 90 độ nên E,F nằm trên đường tròn đường kính BC ta gọi là đường tròn (O')
=> B,F,E,C cùng nawmg trên một đường tròn
b/
Xét đường tròn (O) ta có
sđ \(\widehat{BQP}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BP (góc nội tiếp đường tròn) (1)
Xét đường tròn (O') ta có
sđ \(\widehat{BEF}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BF (góc nội tiếp đường tròn) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BQP}=\widehat{BEF}\) => PQ//EF (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc ở vị trí đồng vị thì chúng // với nhau
c/ ta thấy F và D cùng nhìn BH dưới cùng 1 góc 90 độ nên BDHF là tứ giác nội tiếp
sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{FDA}=\frac{1}{2}\) sđ cung FH (1)
Ta thấy D và E cùng nhìn AB đướ cùng 1 góc 90 độ nên ABDE là tứ giác nội tiếp
sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (2)
Mà \(\widehat{FDA}+\widehat{ADE}=\widehat{FDE}\) (3)
Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{FDE}=2.\widehat{ABE}\left(dpcm\right)\)
a) Chứng minh \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}=90^0\)
\(\Rightarrow\text{BFEC nội tiếp}\)
\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
b) Chứng minh \(AB\times CN=AN\times BD\)
\(ON\perp BC\)
\(\Rightarrow\text{N là điểm chính giữa của cung nhỏ BC}\)
\(\Rightarrow\stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{NC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{NAC}\)
\(\text{mà }\widehat{B_1}=\widehat{N_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BAD\sim\Delta NAC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{BD}{CN}\)
\(\Rightarrow AB\times CN=AN\times BD\)
c) Chứng minh \(BC\times AK=AB\times CK+AC\times BK\)
\(\odot\) \(\Delta ABC\text{ có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H}\)
\(\Rightarrow\text{H là trực tâm của }\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AK\perp BC\)
\(\odot\) Suy ra \(\dfrac{1}{2}\times BC\times AK=S_{ABKC}\) (1)
\(\odot\) \(\text{Gọi T là giao điểm của AK và BC}\)
\(\widehat{AFC}=\widehat{CTA}=90^0\)
\(\Rightarrow\text{AFTC nội tiếp}\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)
\(\text{mà }\widehat{A_1}=\widehat{C_2}\)
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
\(\Rightarrow\Delta CHK\text{ có CT vừa là đường cao vừa là đường phân giác}\)
\(\Rightarrow\text{CB là đường trung trực của HK}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CK=CH\\BK=BH\end{matrix}\right.\)
\(\odot\) \(\dfrac{1}{2}\times AB\times CK=\dfrac{1}{2}\times AF\times CH+\dfrac{1}{2}\times FB\times CH=S_{AHC}+S_{BHC}=S_{AHC}+S_{BKC}\)
\(\odot\) \(\dfrac{1}{2}\times AC\times BK=\dfrac{1}{2}\times AE\times BH+\dfrac{1}{2}\times EC\times BH=S_{AHB}+S_{BHC}\)
\(\odot\) Suy ra \(\dfrac{1}{2}\times AB\times CK+\dfrac{1}{2}\times AC\times BK=S_{AHC}+S_{BKC}+S_{AHB}+S_{BHC}=S_{ABKC}\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ đpcm
o mik xem hình