Question

[Incognito]

Cho đường tròn (O;R) có dây BC cố định, Điểm A di động trên cung lớn BC. Ba đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC gặp nhau ở H. P là giao của BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF cắt AB,AC,CF tại Q,R,T. 

a) Chứng minh D là trung điểm QT ?               b) Chứng minh (PQR) luôn đi qua 1 điểm S cố định ?

c) Hạ HK vuông góc AS tại K. Lấy I là đối xứng của K qua BC. Chứng minh I thuộc (O) ?

d) Gọi giao của 2 tiếp tuyến tại B và C của (O) là G. AG cắt (O) tại điểm thứ hai M. Kẻ PN vuông góc với AG tại N.

Giả sử \(BC=R\sqrt{2}\). Chứng minh AN = 3.MN ?

e) Gọi AG giao BC tại L. Kẻ BJ vuông góc AG tại J. Chứng minh tâm của (CJL) thuộc 1 đường cố định ?

Answer 1

[Upin & Ipin]

a, Ta co 2 bo de quen thuoc sau : FC la phan giac ^EFD, FB la phan giac PFD

ma QR//EP nen

\(\widehat{PFB}=\widehat{FQD}=\widehat{QFD}\Rightarrow\Delta DFQ\) can tai D => DF=DQ (1)

mat khac theo tinh chat tia phan giac ngoai ^PFD co \(\frac{FD}{FP}=\frac{CD}{CP}\) 

ma \(\frac{CD}{CP}=\frac{DT}{PF}\) (DT//PF)

suy ra \(\frac{DF}{PF}=\frac{DT}{PF}\Rightarrow DT=DF\) (2)

Tu(1)va (2) suy ra DT=DQ hay D la trung diem QT

b, Goi S la trung diem BC ta chung minh PQSR noi tiep 

Co \(\Delta PSE~\Delta ESD\left(G-G\right)\Rightarrow\frac{PS}{ES}=\frac{ES}{SD}\Leftrightarrow ES^2=PS.DS\)

lai co ES=SB=SC do S la trung diem canh huyen BC cua tam giac vuong BEC

suy ra \(BS^2=PS.SD=DS\left(PD+DS\right)=SD^2+PD.DS\)

=> \(PD.DS=BS^2-SD^2=\left(BS-DS\right)\left(BS+DS\right)=BD.DC\) (3)

Mat khac ^DQB=^PFB(cmt)

^PFB=^RCD( BFEC nt)

suy ra ^DQB=^RCD=> BQCR noi tiep

=> \(BD.DC=DQ.DR\) (4)

Tu (3),(4) suy ra DP.DS=DQ.DR => PQDR noi tiep 

=> (PQR) di qua S la trung diem BC co dinh

c,lay H' doi xung voi H qua BC, ta co H' thuoc (O) .

ta lai co bo de sau : \(BD.DC=DH.DA\) (quen thuoc)

suy ra \(DP.DS=DH.DA\left(=DB.DC\right)\)

<=> \(\frac{DH}{DP}=\frac{DS}{DA}\)

ma ^HDP=^SDA=90

suy ra \(\Delta DHP~\Delta DSA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{DHP}=\widehat{DSA}\)

va \(\widehat{DSA}=\widehat{AHK}\left(phu\widehat{DAS}\right)\)

=>\(\widehat{DHP}=\widehat{AHK}\) => P,H,K thang hang

lai co \(\widehat{AFH}=\widehat{AKH}=\widehat{AEH}=90\)

=> A,F,H,K,E cung thuoc 1 duong tron =. FHKE noi tiep

=>\(PF.PE=PH.PK\) (5)

ma BFEC noi tiep => \(PF.PE=PB.PC\) (6)

(5)+(6)Suy ra \(PH.PK=PB.PC\) => BHKC noi tiep

Vi H' ,I doi xung voi H,K qua BC ma BHKC noi tiep => BH'IC noi tiep

do vay \(I\in\left(BH'C\right)=\left(ABH'C\right)=\left(O\right)\)

e,Goi tam (CJL) la U, (U) cat (O) tai V, BC giao OG tai X

=> \(\widehat{VBG}=\widehat{VJG}\left(=\widehat{VCB}\right)\) =>BJVG noi tiep

=> B,J,X,V,G cung thuoc 1 duong tron => ^BVG=^BXG=90

lai co ^XVG +^XBG=180 hay ^XVG+^BAC=180

va ^BVC+^BAC=180

suy ra ^XVG=^BVC

hay 90 +^XVB=^XVB+^XVC

=> ^XVC=90

=> V thuoc duong tron dk XC

mat khac V cung thuoc (O)

suy ra V co dinh ,C co dinh 

suy ra tam U di chuyen tren trung truc VC co dinh (dpcm)

Answer 2

[nguyen danh dat]

em mới lớp 5 lên ko bít bài này