Question

[Nguyễn Bạch Gia Duy]

Cho ΔABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Lấy E ∈ BC. BH, CK ⊥ AE (H, K ∈  AE). Chứng minh rằng Δ MHK vuông cân.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên trung tuyến $AM$ đồng thời cũng là đường cao

$\Rightarrow \widehat{AMC}=90^0(1)$
Mà $\widehat{ACM}=45^0(2)$ (tính chất tam giác vuông cân) 

Từ $(1); (2)\Rightarrow AMC$ là tam giác vuông cân tại $M$

$\Rightarrow MA=MC=MB$

Xét tam giác $ABH$ và $CAK$ có:

$AB=CA$

$\widehat{AHB}=\widehat{CKA}=90^0$

$\widehat{ABH}=\widehat{CAK}$ (cùng phụ góc $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle CAK$ (ch-gn)

$\Rightarrow BH=AK$ và $AH=CK$

Xét tam giác $MBH$ và $MAK$ có:

$\widehat{MBH}=\widehat{MAK}$ (cùng phụ $\widehat{BEH}$)

$MB=MA$

$BH=AK$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle MBH=\triangle MAK$ (c.g.c)

$\Rightarrow MH=MK(*)$

Xét tam giác $AMH$ và $CMK$ có:

$AM=CM$ (cmt)

$AH=CK$ (cmt)

$MH=MK$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AMH=\triangle CMK$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{AMH}=\widehat{CMK}$

$\Rightarrow \widehat{AMH}+\widehat{HME}=\widehat{CMK}+\widehat{HME}$

$\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{HMK}$
$\Rightarrow \widehat{HMK}=90^0(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow MHK$ vuông cân tại $M$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: