Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x^2+9\right)+\left(y^2+9\right)+3\left(x^2+y^2\right)\ge6x+6y+6xy=90\)
\(\Rightarrow4\left(x^2+y^2\right)+18\ge90\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=3\)
\(x+y+xy=15\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le15\\y\le15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-15\right)\le0\\y\left(y-15\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le15x+15y\) (1)
Cũng từ đó ta có: \(\left(x-15\right)\left(y-15\right)\ge0\Rightarrow xy\ge15x+15y-225\)
\(\Rightarrow16x+16y-225\le x+y+xy=15\)
\(\Rightarrow x+y\le15\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow x^2+y^2\le15.15=225\)
\(P_{max}=225\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;15\right);\left(15;0\right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (x+y)[(29x+3y)+(29y+3x)]=32(x+y)^2\leq 32.(x^2+y^2)(1+1)=64(x^2+y^2)\leq 64.2=128$
$\Rightarrow P\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=8\sqrt{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
1 32 32 x 29 x + 3 y ≤ 1 4 2 32 x + 29 x + 3 y 2 = 1 8 2 61 x + 3 y
Tương tự
1 32 32 y 29 y + 3 x ≤ 1 8 2 61 y + 3 x
=> P ≤ 4 2 x + y ≤ 4 2 x 2 + 1 2 + y 2 + 1 2 = 8 2
Vậy P min = 8 2 <=> x = y = 1
Lời giải:
$A=(x+y)(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2+y^2)+(x-y)^2$
$\geq 2(x^2+y^2)=(1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2=2^2=4$ (theo BĐT Bunhiacopxky)
Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
\(A\le\sqrt{3\left(x+y+y+z+z+x\right)}=\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\le\sqrt{6.\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}=\sqrt{6\sqrt{3}}\)
\(A_{max}=\sqrt{6\sqrt{3}}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Do \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z\ge x^2+y^2+z^2=1\)
\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{z^2+xy+yz+zx}\)
\(A^2\ge2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2}+2\sqrt{y^2}+2\sqrt{z^2}=4\left(x+y+z\right)\ge4\)
\(\Rightarrow A\ge2\)
\(A_{min}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
Em ko chắc nhá!
Giả sử x = max{x;y}.Ta tìm max của A = x(y+1).
Ta có: \(x^2=1-y^2\Rightarrow x=\sqrt{1-y^2}\).
Do đó ta tìm max của \(A=\left(y+1\right)\sqrt{1-y^2}\).
Xét hiệu \(A^2-\frac{27}{16}=-\frac{1}{16}\left(2y-1\right)^2\left(4y^2+12y+11\right)\le0\)
Nên \(A\le\frac{3\sqrt{3}}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi y = 1/2 khi đó \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy..
Điểm rơi: \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Ta tách biểu thức được như sau: \(A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\)
\(\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}=2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta lại có:
\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\geq 3\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Mình ấn nhầm
Áp dụng BĐT quen thuộc:
\(A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Lại có: \(x+y=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1-2xy\)
Mà \(x;y\ge0\Rightarrow2xy\ge0\Rightarrow1-2xy\le1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le1\Rightarrow A_{max}=1\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)