Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(3x^2+x=4y^2+y\)
\(\Leftrightarrow\left(3x^2-3y^2\right)+\left(x-y\right)=y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x+3y+1\right)=y^2\)
Giả sử d là ước chung của (x - y) và (3x + 3y + 1)
Ta có y2 chia hết cho d2
\(\Rightarrow\)y chia hết cho d
\(\Rightarrow-3\left(x-y\right)+\left(3x+3y+1\right)-6y\)chia hết cho d
\(\Rightarrow\)1 chia hết cho d nên d = 1
\(\Rightarrow\)(x - y) và (3x + 3y + 1) nguyên tố cũng nhau
Vậy (x - y) là 1 số chính phương
+ Xét x > 2:
Ta có 2x hehia hết cho 8.
Xét y lẻ thì ta có 5y chia cho 8 dư 5 nên 2x + 5y chia 8 dư 5 (loại).
Từ đây y chỉ có thế là số chẵn.
Đặt y = 2k thì ta có:
2x + 52k = a2
\(\Leftrightarrow\)2x = a2 - 52k
\(\Leftrightarrow\)2x = (a - 5k)(a + 5k)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-5^k=2^m\\a+5^k=2^n\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=2^{m-1}+2^{n-1}\)
Vì a lẻ nên 1 trong 2 thừa số phải là 1.
Xét \(2^{m-1}=1\)
\(\Rightarrow m=1\)
Thế ngược lên hệ trên thì ta được
\(\hept{\begin{cases}a-5^k=2\\a+5^k=2^n\end{cases}}\)
\(\Rightarrow5^k=2^{n-1}-1\)
Ta thấy VT chia cho 8 dư 5 hoặc 1 nên VP phải chia cho 8 dư 5 hoặc 1.
Từ đây suy được n = 2.
\(\Rightarrow k=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=3\end{cases}}\left(l\right)\)
Tương tự cho trường hợp còn lại với n = 1 ta nhận thấy với x > 2 thì không có giá trị thỏa mãn bài toán.
+ Xét \(x\le2\)ta dễ dàng tìm được
\(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
wow,mới lớp 5 mà đã hỏi được bài lớp 8 kìa
Lời giải:
$3x^2+x=4y^2+y$
$\Leftrightarrow 4(y^2-x^2)+(y-x)=-x^2$
$\Leftrightarrow (y-x)[4(x+y)+1]=x^2$
$\Leftrightarrow (x-y)[4(x+y)+1]=x^2$
Gọi $d=(x-y, 4x+4y+1)$
Khi đó: $x-y\vdots d(1); 4x+4y+1\vdots d(2)$. Mà $x^2=(x-y)(4x+4y+1)$ nên $x^2\vdots d^2$
$\Rightarrow x\vdots d(3)$.
Từ $(1); (3)\Rightarrow y\vdots d$
Từ $x,y\vdots d$ và $4x+4y+1\vdots d$ suy ra $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$
Vậy $x-y, 4x+4y+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là scp $(x^2)$ nên bản thân mỗi số trên cũng là scp.
Đặt $4x+4y+1=t^2$ với $t$ tự nhiên.
Khi đó: $A=2xy+4(x+y)^3+x^2+y^2=(x+y)^2+4(x+y)^3=(x+y)^2[1+4(x+y)]$
$=(x+y)^2t^2=[t(x+y)]^2$ là scp
Ta có đpcm.
