Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hiệu:
(a + b + c)(x + y + z) - 3(ax + by + cz)
= a(x + y + z) - 3ax + b(x + y + z) - 3by + c(x + y + z) - 3cz
= a(x + y + z - 3x) + b(x + y + z - 3y) + c(x + y + z - 3z)
= a(y + z - 2x) + b(x + z - 2y) + c(x + y - 2z)
= a[(y - x) - (x - z)] + b[(z - y) - (y - x)] + c[(x - z) - (z - y)]
= (y - x)(a - b) + (x - z)(c - a) + (z - y)(b - c) \(\ge0\)
do \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\left(đpcm\right)\)
Đây là bất đẳng thức Trê-bư-sep nhé :)
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(x+y+z\right)-3ax+b\left(x+y+z\right)-3by+c\left(x+y+z\right)-3cz\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)+b\left(x+z-2y\right)+c\left(x+y-2z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(y-x\right)+a\left(z-x\right)+b\left(x-y\right)+b\left(z-y\right)+c\left(x-z\right)+c\left(y-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(a-b\right)+\left(z-x\right)\left(a-c\right)+\left(z-y\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\x\le y\le z\end{cases}}\)
Vậy bđt ban đầu dc chứng minh
http://olm.vn/hoi-dap/question/58264.html?auto=1
vào đây thAM khảo nhé.
cách nhanh nhất là nhân tung ra rồi chuyển vế rút gọn là xong
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:
\(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)
\(= (a+b+c)(x+y+z)\)
=> \(Q.E.D\)
Tiep bai 4:Ta co:
BDT <=> \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)
Sau khi khai trien con: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)
Ap dung BDT Cosi ta co:
\(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)
Lam tuong tu ta co: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)
\(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)
Lam tuong tu ta co: \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)
Cong (1) voi (2) ta co: VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)
Voi cach lam tuong tu ta cung duoc: VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)
Tu (*) va (**) suy ra : \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)
<=> VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)
=> \(Q.E.D\)
