![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
để \(y=\frac{x}{\left(x+2004\right)^2}\) lớn nhất thì \(\frac{\left(x+2004\right)^2}{x}\) phải bé nhất
ta có \(\frac{\left(x+2004\right)^2}{x}=\frac{x^2+2.2004.x+2004^2}{x}\)
\(=\frac{x^2}{x}+\frac{4008x}{x}+\frac{2004^2}{x}\)
\(=4008+x+\frac{2004^2}{x}\)
để \(\frac{\left(x+2004\right)^2}{x}\)bé nhất thì \(4008+x+\frac{2004^2}{x}\)bé nhất
\(=>x+\frac{2004^2}{x}\)phải bé nhất
ta thấy \(x.\frac{2004^2}{x}=2004^2\)(tích này không đổi, luôn bằng 20042 với mọi giá trị của x)
áp dụng tính chất: nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số bằng nhau
ta có : vì tích của x và\(\frac{2004^2}{x}\)không đổi nên \(x+\frac{2004^2 }{x}\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x=\frac{2004^2}{x}\)
\(=>2004^2=x^2\)
\(=>x=2004\)
thay x=2004 vào y ta được
\(y=\frac{2004}{\left(2004+2004\right)^2}=\frac{1}{8016}\)
vậy GTLN của \(y=\frac{1}{8016}\) khi và chỉ khi x=2014
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)(1)
Lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{1}=4\)(2)
Từ (1) và (2) => \(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy MinA = 18
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng ta được :
\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giờ thì chứng minh thôi:3
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)
=> Min P=18
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt: a2 + b2 > = (a + b)2/2
Cm đúng <=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 > = 0
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b
Khi đó, ta có: A = \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
CM đúng <=> (a + b)2 > = 4ab
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b)
Ta lại có: A \(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=18\)
Dấu"=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy minA = 18/ <=> x = y = 1/2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(t=\dfrac{1}{2004y}\)
Ta có: \(t=\dfrac{\left(x+2004\right)^2}{2004x}=\dfrac{x^2+2.2004x+2004^2}{2004x}\)
\(=\dfrac{x}{2004}+2+\dfrac{2004}{x}\)
\(=\dfrac{x^2+2004^2}{2004x}+2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số nguyên dương ta có:
\(x^2+2004^2\ge2.2004.x\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+2004^2}{2004x}\ge2\left(2\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=2004\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(t\ge4\)
Vậy giá trị bé nhất của \(t=4\) khi \(x=2004\)
Vậy \(y_{max}=\dfrac{1}{2004t}=\dfrac{1}{8016}\) khi \(x=2004\)
Ta có :
\(y=\dfrac{x}{\left(x+2004\right)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{y}=\dfrac{\left(x+2004\right)^2}{x}=\left(\dfrac{x^2+4008x+2004^2}{x}\right)=x+4008+\dfrac{2004^2}{x}\)
Để y đạt GTLN thì \(\dfrac{1}{y}\) đạt GTNN
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{y}=x+4008+\dfrac{2004^2}{x}\ge4008+4008=8016\)
Vậy Min \(\dfrac{1}{y}=8016\) tại \(x=2014\)
\(\Rightarrow\) Max \(y=\dfrac{1}{8016}\) tại \(x=2014\)
giúp mk đi mà
X > 2004