TL
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
3 tháng 4 2022
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
3 tháng 8 2017
ta có : a+b+c=0=>a+b=-c ; b+c=-a ; a+c=-b
ta có: M= \(\frac{2ab}{a^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)}+\frac{2bc}{b^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)}+\frac{2ca}{c^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{2bc}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{2ca}{c^2-c\left(a-b\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{a\left(a-b+c\right)}+\frac{2bc}{b\left(b-c+a\right)}+\frac{2ca}{c\left(c-a+b\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{-ab+\left(a+c\right)}+\frac{2bc}{-bc+\left(a+b\right)}+\frac{2ac}{-ac+\left(b+c\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{-2ab}+\frac{2bc}{-2bc}+\frac{2ca}{-2ca}\)
M=-1-1-1=-3
Vậy với a+b+c=0 thì M=-3
16 tháng 2 2020
a) ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
<=>\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
<=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2cb\)
cộng 2 vế cho \(a^2+b^2+c^2\)ta được điều phải chứng minh
16 tháng 2 2020
b) Nhân 2 vế cho 9 ta sẽ được:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)rồi bạn làm tương tự như câu a) là ra nha!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 9 2017
Lời giải:
Ta có:
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=3abc\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=3abc\)
Đặt \((a+b+c,ab+bc+ac,abc)=(p,q,r)\)
\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)
Khi đó, \(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=3pr+3r\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)\)
Chắc bạn viết thiếu.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2023
Do \(0\le a;b;c\le2\)
\(\Rightarrow abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow9-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị
ko mất tính tổng quát, g/s \(0\le a\le b\le c\le2\)
Có: \(3c\ge a+b+c=3\)\(\Rightarrow\)\(1\le c\le2\)\(\Rightarrow\)\(\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)
\(a^2+b^2+c^2\le a^2+2ab+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2\)
\(=2c^2-6c+9=2\left(c^2-3c+2\right)+5=2\left(c-1\right)\left(c-2\right)+5\le5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=0;b=1;c=2\) và các hoán vị
W.L.O.G: \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)
Ta có: \(LHS=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(\le2\left(a-b\right)+3\left(b-c\right)+3c\)
\(=2.a+1.b=a+b+a\)
\(=3-c+a\le3-0+2=5=RHS\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi (a;b;c) = (2;1;0) và các hoán vị ?!?
Ta có đpcm?!?
Is that true?