Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=6\) (đpcm)
Giải phần dấu "=" ra ta được a = b =c
Bài 2: Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)
Suy ra \(a=\frac{x-y+z}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=\frac{y+z-x}{2}\)
Suy ra cần chứng minh \(\frac{x-y+z}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\ge6\)
Bài toán đúng theo kết quả câu 1.
a) Bổ đề: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\forall x,y>0\)
\(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{ca}=2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cảm ơn bạn nhiều nhé Nhật Pháp soi chiếu thế gian. Nếu có thể, mong bạn hãy giúp mình những phần còn lại ^^
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
a)Bạn đặt A = a/ (1 + a^2). => A + a^2A = a => a^2A - a + A = 0. ta có delta = 1 - 4A^2 ( gọi ẩn số là a). => để pt có nghiệm <=> 1 - 4A^2 >= 0 => để phương trình có nghiệm => 1 - 4A^2 >= 0 => 1 >= 4A^2 => A =< 1/2. => max A = 1/2. bạn giải tương tự B = b/(1+b^2), C = c/(1 + c^2) rồi cộng vào nhau là ra ngay thôi. Đây là cách giải bằng delta.
b)bạn có (a^2 - b^2)/c = ((a+b)(a-b))/c >= (c + c)(a-b)/c = 2(a - b). Bạn có c =< b ( theo đề bài) = > c + b =< 2b => (c + b) =<2b => (c + b)/b <= 2 => (c + b)/a <= 2. từ đó ta có (c^2 - b^2)/a = (c -b )(c + b)/a >= 2(c - b).
chứng minh tương tự:(a + c)/b > 1 => (a^2 - c^2)/b >= a - c.( sr ngại gõ lắm) => cộng 3 vế ta được đpcm
Ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(1+b^2\ge2b\Rightarrow\frac{1}{1+b^2}\le\frac{1}{2b}\Rightarrow-\frac{1}{1+b^2}\ge-\frac{1}{2b}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
CMTT: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow BĐT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)\(=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mặt khác ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\ge ab+bc+ca\)\(\Leftrightarrow-\frac{3}{2}\le-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\Rightarrow BĐT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)(đpcm)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(VT=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\)
\(=1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\)
\(=3-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(VT\ge3-\left(\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}\right)=3-\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)\)
\(=3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2\\ \Rightarrow3\left(ab+ac+bc\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)\\ \Rightarrow3\left(ab+ac+bc\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\\ \Rightarrow ab+ac+bc\le3\\ \Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)\le6\)
Áp dụng BDT Cô-si với 3 số dương:
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{9}{a^2+1+b^2+1+c^2+1}\\ =\frac{9}{a^2+b^2+c^2+3}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6-3}\\ \ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)-3}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2-3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Đề phải là \(a;b;c>0\) lần sau chú ý mà gõ -_-
Ta có : \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b+c}.\frac{a\left(b+c\right)}{4}}=a^2\)(BĐT Cosi)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\\\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của các BĐT vừa chứng minh lại ta được :
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{ab+ac+bc}{2}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+ac+bc}{2}\)
\(\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\) (Do \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Giả sử: \(a\ge b\ge c\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{a+b}\)\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\) Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)