Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{2a-b}{2}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2a^3-\left(2a-b\right)\left(a^2+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với a;b dương)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}\ge\dfrac{2b-c}{2}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}\ge\dfrac{2c-a}{2}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{a+b+c}{2}=3\) (đpcm)
Để chứng minh rằng a^2 + b^2 + c^2 < 2 với điều kiện a + b + c = 0 và -1 < a <= b <= c < 1, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giả định trái ngược (proof by contradiction).
Giả sử rằng a^2 + b^2 + c^2 >= 2, sau đó chúng ta sẽ chứng minh rằng điều kiện a + b + c = 0 không thể thỏa mãn.
Với a + b + c = 0, chúng ta có thể viết lại bằng cách sử dụng c = -(a + b):
a^2 + b^2 + (-a-b)^2 >= 2
Mở ngoặc và rút gọn:
a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 >= 2
3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2
Chúng ta sẽ chứng minh rằng bất phương trình trên không thể đúng với điều kiện -1 < a <= b <= c < 1.
Với -1 < a <= b <= c < 1, ta có:
-1 < a <= b <= -a-b < 1
Thêm cả hai vế của bất phương trình này:
-1 < a+b <= 0 < 1
Điều này cho thấy a + b không thể bằng 1 hoặc -1.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng bất phương trình 3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2 không thể đúng với a + b không bằng 1 hoặc -1.
Ta có:
3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2
Với a + b không bằng 1 hoặc -1, ta có:
3a^2 + 2ab + 2b^2 > 3a^2 - a^2 + 2ab + b^2
= 2a^2 + 2ab + b^2
= (a + b)^2 + a^2
Vì (a + b)^2 >= 0 và a^2 >= 0, ta có:
(a + b)^2 + a^2 >= 0 + 0 = 0
Điều này cho thấy rằng bất phương trình không thể đúng.
Vì vậy, giả định ban đầu là sai và chúng ta kết luận rằng a^2 + b^2 + c^2 < 2 với điều kiện a + b + c = 0 và -1 < a <= b <= c < 1.
Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) và \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2
Mình viết lại đề cho dễ nhìn:
Cho a;b;c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{abc}\)
Ta có a+b+c=0 => \(a+b=-c\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)=3ab\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\)
\(a^6+b^6+c^6=\left(a^3\right)^2+\left(b^3\right)^2+\left(c^3\right)^2=\left(a^3+b^3+c^3\right)^2-2\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(ab+bc+ca=0\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
Do đó: \(a^6+b^6+c^6=\left(3abc\right)^2-2\cdot3a^2b^2c^2=3a^2b^2c^2\)
Vậy \(\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=\frac{3a^2b^2c^2}{3abc}=abc\left(đpcm\right)\)
Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) và \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(N\ge\dfrac{a^2b}{c}+\dfrac{b^2c}{a}+\dfrac{c^2a}{b}\ge\dfrac{1}{3}\left(a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+b\sqrt{\dfrac{c}{a}}+c\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có \(\frac{b+c+6}{1+a}=\frac{11-a}{1+a}=-1+\frac{12}{1+a}\)
\(\frac{c+a+4}{2+b}=-1+\frac{12}{2+b}\)
\(\frac{a+b+3}{3+c}=-1+\frac{12}{3+c}\)
Mà \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{3+c}\ge\)
\(\frac{3^2}{1+2+3+a+b+c}=\frac{3}{4}\)
Từ đó => VT \(\ge\)-3 + \(12\frac{3}{4}\)= 6
Đặt x=a+1; y=b+2; z=3+c (x;y;z>0)
\(VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
\(=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}}+2\sqrt{\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{y}}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=3; b=2; c=1
Giả thiết ngứa mắt vc , let's biến đổi chút
\(GT\Leftrightarrow\frac{1-a}{a}.\frac{1-b}{b}.\frac{1-c}{c}=1\). Đặt \(\left(\frac{1-a}{a};\frac{1-b}{b};\frac{1-c}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
thì \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
nên bài toán đã cho trở thành \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\left(xyz=1\right)\)
để ý rằng \(VT\ge\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(y^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(z^2+1\right)}\)
nên chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{3}{2}\left(xyz=1\right)\)
đặt \(A=\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{c+a+4}{b+2}+\frac{a+b+3}{c+3}\)
\(=\frac{12-\left(a+1\right)}{a+1}+\frac{12-\left(b+2\right)}{b+2}+\frac{12-\left(c+3\right)}{c+3}\)
\(=\frac{12}{a+1}+\frac{12}{b+2}+\frac{12}{c+3}-3\ge\frac{108}{a+b+c+1+2+3}-3=\frac{108}{12}-3=6\)(Q.E.D)
dấu = xảy ra khi a+1=b+2=c+3<=>a=3;b=2;c=1