TT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
0
NM
2
V
29 tháng 10 2017
Giả thiết ngứa mắt vc , let's biến đổi chút
\(GT\Leftrightarrow\frac{1-a}{a}.\frac{1-b}{b}.\frac{1-c}{c}=1\). Đặt \(\left(\frac{1-a}{a};\frac{1-b}{b};\frac{1-c}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
thì \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
nên bài toán đã cho trở thành \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\left(xyz=1\right)\)
để ý rằng \(VT\ge\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(y^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(z^2+1\right)}\)
nên chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{3}{2}\left(xyz=1\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\ge1\)
\(\Leftrightarrow2\ge\dfrac{a+b}{a+b+1}+\dfrac{b+c}{b+c+1}+\dfrac{c+a}{c+a+1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+a+b}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2+b+c}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)^2+c+a}\)
\(\Rightarrow2\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c}\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\)đpcm
PT
Cho ba số a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 và và a ≤ 1 , b ≤ 1 , c ≤ 1. Chứng minh rằng a 4 + b 6 + c 8 ≤ 2.
1
CM
10 tháng 12 2019
Từ giả thiết a ≤ 1 , b ≤ 1 , c ≤ 1 ta có a 4 ≤ a 2 , b 6 ≤ b 2 , c 8 ≤ c 2 . Từ đó a 4 + b 6 + c 8 ≤ a 2 + b 2 + c 2
Lại có: a − 1 b − 1 c − 1 ≤ 0 v à a + 1 b + 1 c + 1 ≥ 0 nên
a + 1 b + 1 c + 1 − a − 1 b − 1 c − 1 ≥ 0 ⇔ 2 a b + 2 b c + 2 c a + 2 ≥ 0 ⇔ − 2 a b + b c + c a ≤ 2
Hơn nữa a + b + c = 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = − a b + b c + c a ≤ 2
⇒ a 4 + b 6 + c 8 ≤ 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\ge1\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}\le1\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
22 tháng 5 2017
3 số thực dương nhé.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+2bc}=\frac{1}{b^2+2ca}=\frac{1}{c^2+2ab}\)và \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)
Mong có ai giúp mình từ đẳng thức trên giải ra a=b=c.
Ta có :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}+2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{b}}=3+2+2+2=9\)
Dấu bằng của BĐT xảy ra khi a = b= c = 1/3
hay lắm Trần Đức Thắng